北师大版选修1-2第4章 章末复习学案

章末复习
学习目标　1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模：设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数的模或绝对值，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)
2．原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)
3．方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)
类型一　复数的概念
例1　已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝3，∴当a＝3时，z＝0.
引申探究　
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由．
解　由a2－a－6＝0且a2＋2a－15≠0，
且a2－4≠0，得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟　(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；(2)z为虚数．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
解得x>且x≠4.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
类型二　复数的四则运算
例2　(1)计算：＋2018＋；
(2)已知z＝1＋i，求的模．
考点　复数四则运算的综合运用
题点　复数的混合运算
解　(1)原式＝＋1009＋＝i＋(－i)1009＋0＝0.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模为.
反思与感悟　(1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)；
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
跟踪训练2　(1)已知＝2＋i，则复数z等于(　　)
A．－1＋3i B．1－3i
C．3＋i D．3－i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　B
解析　∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.
(2)已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
①求复数z；
②求的模．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
解　①设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴由z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又∵＝＝＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
②＝＝
＝＝－2＋i，
∴＝|－2＋i|＝＝.
类型三　数形结合思想的应用
例3　已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
考点　分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用
题点　数形结合思想的应用
解　(1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i＝－1－2isin2θ.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sinθ>0，
因此sinθ＝，∴θ＝或θ＝.
反思与感悟　根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．
跟踪训练3　在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应关系
答案　A
解析　∵＋z2＝＋(1＋i)2
＝＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i，
∴复数＋z2对应点的坐标为(1,1)，
故在第一象限.
1．若z＝1＋2i，则等于(　　)
A．1B．－1C．iD．－i
考点　复数四则运算的综合应用
题点　复数的混合运算
答案　C
解析　＝＝i.
2．复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于(　　)
A．2B．－1C．1D．－2
考点　乘除法的运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　D
解析　z＝＝
＝在复平面内对应的点的坐标为且在虚轴上，所以2＋a＝0，即a＝－2.
3．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z等于(　　)
A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
答案　A
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以z·i＋2＝2z，
即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b，
解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
4．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
答案　3＋4i
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，＝a－bi，
∵|z|－＝，∴|z|－＝2＋4i，
则－a＋bi＝2＋4i，
∴解得∴z＝3＋4i.
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.

一、选择题
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
考点　虚数单位i及其性质
题点　虚数单位i的运算性质
答案　B
2．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则等于(　　)
A．－1B．1C．－iD．i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　D
解析　由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，得m＝1且n＝1，
则＝＝＝i.
3．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a等于(　　)
A.B．2C.D．1
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　A
解析　∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，
∴＝|1－ai|＝＝2，
解得a＝或a＝－(舍)．
4．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为(　　)
A．－B.C．－D.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　D
解析　因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]
＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i
＝(2－m)＋(3m－1)i，
所以2－m＝3m－1，即m＝.
经检验，m＝能使2－m＝3m－1>0，
所以m＝满足题意．
5．已知复数z＝(b∈R)的实部为－1，i为虚数单位，则复数－b在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应关系
答案　C
解析　z＝＝
＝＝＋i，
又复数z＝(b∈R)的实部为－1，
∴＝－1，即b＝6.
∴z＝－1＋5i，则＝－1－5i.
复数－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.
6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，i为虚数单位，则以下结论正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　C
解析　∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴z对应的点在实轴的上方．
又∵z与对应的点关于实轴对称，∴C正确．
7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)
A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　D
解析　由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝＝2＋i，
∴z＝5＋i，∴＝5－i.
二、填空题
8．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a＝________.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　与共轭复数有关的综合应用
答案　±1
解析　＝a－i，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1.
9．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　1
解析　因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
10．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i(i为虚数单位)所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　(3,4)
解析　∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴解得311．如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　复数与点的对应关系
答案　－2－i
解析　由题图可知，z1＝－1＋2i，
由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i.
三、解答题
12．已知复数z1＝(1＋bi)(2＋i)，z2＝3＋(1－a)i (a，b∈R，i为虚数单位)．
(1)若z1＝z2，求实数a，b的值；
(2)若b＝1，a＝0，求.
考点　复数四则运算的综合应用
题点　复数的混合运算
解　(1)复数z1＝(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i，
z2＝3＋(1－a)i，
由z1＝z2，可得解得
所以a＝2，b＝－1.
(2)若b＝1，a＝0，则z1＝1＋3i，z2＝3＋i.
＝＝＝2.
13．已知复数z1满足z1(1－i)＝2(i为虚数单位)，若复数z2满足z1＋z2是纯虚数，z1·z2是实数，求复数z2.
考点　复数四则运算的综合运用
题点　与混合运算有关的未知数求解
解　∵z1(1－i)＝2，
∴z1＝＝＝＝1＋i.
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z1＋z2＝1＋a＋(b＋1)i是纯虚数，
∴　∴a＝－1，b≠－1.
∴z1·z2＝(1＋i)(－1＋bi)＝(－1－b)＋(b－1)i，
又z1·z2是实数，则b－1＝0，
∴b＝1，∴z2＝－1＋i.
四、探究与拓展
14．若a是复数z1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b是复数z2＝的实部，则ab＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　－
解析　z1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i，
由a是复数z1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a＝－2.
z2＝＝＝＝＋i，
由b是复数z2＝的实部，得b＝.
则ab＝－2×＝－.
15．求虚数z，使z＋∈R，且|z－3|＝3.
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
解　设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则
z＋＝a＋bi＋＝＋i.
由z＋∈R，得b－＝0，
又b≠0，故a2＋b2＝9.①
又由|z－3|＝3，得＝3.②
由①②，得
即z＝＋i或z＝－i.