第1章-1 周期现象学案

§1　周期现象
内容要求　1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．
知识点　周期现象
(1)概念：相同间隔重复出现的现象．
(2)特点：
①有一定的规律；
②不断重复出现．
【预习评价】　
1．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)
(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)
2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．
解析　观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2.
答案　2
题型一　周期现象的判断
【例1】　判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．
(1)地球的自转；
(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；
(3)钟表的秒针的转动；
(4)某段高速公路每天通过的车辆数．
解　(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．
(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．
(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．
(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．
规律方法　周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．
【训练1】　判断下列现象是否为周期现象：
(1)每届奥运会的举办时间；
(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；
(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．
解　(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．
(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．
(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．
题型二　周期现象的应用
【例2】　一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：
日期
1月
1日
2月
28日
3月
21日
4月
27日
5月
6日
日期位置
序号x
1
59
80
117
126
白昼时间
y(时)
5.6
10.2
12.4
15.9
17.3
日期
6月
21日
8月
13日
9月
20日
10月
25日
12月
21日
日期位置
序号x
172
225
263
298
355
白昼时间
y(时)
19.4
15.9
12.4
8.5
5.4
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在如图所示的给定的坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？
解　(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．
(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．
规律方法　收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．
【训练2】　受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？
解　由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．
【例3】　2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？
解　按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．
【迁移1】　试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？
解　由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．
【迁移2】　从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？
解　因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．
【迁移3】　试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？
解　每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．
规律方法　应用周期性解决实际问题的两个要点
特别提醒　计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．
课堂达标
1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析　月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.
答案　B
2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期(　　)
A．五 B．六
C．日 D．一
解析　每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．
答案　C
3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．
解析　周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．
答案　直升机
4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．
解析　4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．
答案　10
5．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？
解　共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．
课堂小结
1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．
2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.
基础过关
1．下列是周期现象的为(　　)
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年6月份的平均降雨量．
A．①②④ B．②④ C．①② D．①②③
解析　①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．
答案　C
2．把化成小数，小数点后第20位是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析　＝0.4285，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4.
答案　C
3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是(　　)
A．2020 B．2024
C．2026 D．2028
解析　C中2026不是4的倍数，选C.
答案　C
4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．
解析　周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．
答案　红
5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．
答案　2
6．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)
解　每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.
∴第7天后的那一天是星期一．
∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．
7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？
解　因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝
1 920(升)．
能力提升
8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在(　　)
A．8点处 B．10点处
C．11点处 D．12点处
解析　由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.
答案　B
9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是(　　)
A．点A处 B．点B处
C．O、A之间 D．O、B之间
解析　钟摆的周期T＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又＜0.6＜，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间．
答案　D
10．今天是星期六，再过100天后是星期________．
解析　100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．
答案　一
11．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间可能是________ s.
解析　质点从O点向左运动，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M时用时应为M→O→B→O→M，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．
答案　1.4
12．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？
(2)转四圈需要多少时间？
(3)你第四次距地面最高需要多少时间？
(4)转60分钟时，你距离地面是多少？
解　(1)是周期现象，周期12分钟/圈．
(2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．
(3)第1次距离地面最高需＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．
(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．
13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？
解　通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.