第1章-3 弧度制学案
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文档简介
§3 弧度制
内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．
知识点1 弧度制
(1)角度制与弧度制的定义
角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√)
(2)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的(√)
(3)1°的角比1 rad的角要大(×)
(4)1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×)
知识点2 角度制与弧度制的换算
常见角度与弧度互化公式如下：
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
【预习评价】
请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：
角度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
知识点3 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别
α为角度制
Α为弧度制
扇形的弧长
l＝
L＝|α|·R
扇形的面积
S＝
S＝l·R＝|α|·R2
【预习评价】
1.一个扇形的半径为2 cm，圆心角为，则该扇形所对的弧长l＝________cm.
答案
2.一个扇形的半径为2 cm，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm2.
答案 2
知识点4 利用弧度制表示终边相同的角
在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．
【预习评价】
1.与30°终边相同的角为( )
A．2kπ＋(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．360°k＋(k∈Z) D．2kπ＋30°(k∈Z)
答案 B
2.终边在x轴上的角的集合用弧度制表示为________．
答案 {α|α＝kπ，k∈Z}
题型一 角度与弧度的互化
【例1】 将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
解 (1)20°＝20× rad＝ rad.
(2)－15°＝－15× rad＝－ rad.
(3)π rad＝×180°＝105°.
(4)－π rad＝－×180°＝－396°.
规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·180°；n°＝n·rad.
(3)注意点：
①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；
②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
【训练1】 将下列各角度与弧度互化：
(1)π；(2)－π；(3)－157°30′.
解 (1)π＝×180°＝75°；
(2)－π＝－×180°＝－210°；
(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5× rad
＝－π rad.
题型二 用弧度制表示终边相同的角
【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.
解 (1)∵－1 480°＝－＝－10π＋，0≤＜2π，
∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π.
(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z.
又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－，β2＝－π.
【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断
2 015°是不是这个集合的元素．
解 因为150°＝.所以终边在阴影区域内角的集合为
S＝.
因为2 015°＝215°＋5×360°＝＋10π，
又＜＜.所以2 015°＝∈S，即2 015°是这个集合的元素．
方向1 求弧长
【例3－1】 已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；
解 ∵α＝120°＝π，r＝6，
∴的长l＝π×6＝4π.
方向2 求圆心角
【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
解 设圆心角是θ，半径是r，
则?或(舍)．
故扇形圆心角为.
方向3 求面积的最值
【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝rad＝2 rad.
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.
规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
课堂达标
1．与120°角终边相同的角为( )
A．2kπ－(k∈Z) B.
C．2kπ－(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
解析 120°＝且2kπ－＝(2k－4)π＋(k∈Z)，
∴120°与2kπ－(k∈Z)，终边相同．
答案 C
2．－化为角度应为( )
A．－345° B．－15°
C．－315° D．－375°
解析 －＝－×180°＝－345°.
答案 A
3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．
解析 由弧长公式l＝αR得α＝＝＝.
答案
4．下列结论不正确的是________(只填序号)．
① rad＝60°；②10°＝ rad；③36°＝ rad；④ rad＝115°.
解析 rad＝×180°＝112.5°，∴④错．
答案 ④
5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
课堂小结
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
基础过关
1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A.π B.π
C.π D.π
解析 240°＝240× rad＝π rad，
∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，故选A.
答案 A
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案 C
3．若α＝－3，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵－π＜－3＜－，∴－3是第三象限角．
答案 C
4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．
答案 π
5．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
解析 由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案
6．把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．
(1)－；(2)－1 485°；(3)－20.
解 (1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，终边相同的角的集合为.
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角．终边相同的角的集合为.
(3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而<8π－20<2π.∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋(8π－20)，k∈Z}．
7．直径为20 cm的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积．
(1)；(2)165°.
解 (1)l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)，
S＝|α|·r2＝×π×102＝π(cm2)．
(2)165°＝×165 rad＝π rad.
∴l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)．
S＝l·r＝×π×10＝π(cm2)．
能力提升
8．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
答案 B
9．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )
A.(2－sin 1cos 1)R2 B.R2sin 1cos 1
C.R2 D．(1－sin 1cos 1)R2
解析 ∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2.
∵S弓形＝S扇形－S△＝|α|R2－(2Rsin )·(Rcos )
＝×2×R2－R2sin 1·cos 1＝R2(1－sin 1cos 1)．
答案 D
10．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．
解析 ∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，
当k＝－1时，－π＜α＜－π，
当k＝0时，＜α≤2，
当k为其他整数时，满足条件的角α不存在．
答案 (－π，－π)∪(，2]
11．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________________.
解析 α＝－π－＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π；
或者α＝－π＋＋2kπ
＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π.
综上，α＝π或π.
答案 π或π
12．已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
解 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－2＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝.此时，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为.
13．(选做题)如图所示，点A以逆时针方向做匀速圆周运动，
已知点A每分钟转过θ角(0＜θ≤π)，经过2分钟第一次到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．
解 经过2分钟，点A转过2θ的角，经过14分钟，点A转过14θ的角．
由已知π＜2θ＜得＜θ＜，且14θ＝2kπ，k∈Z，
∴θ＝，k∈Z.
即＜＜，＜k＜，k＝4或5.
k＝4时，θ＝；k＝5时，θ＝.
内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．
知识点1 弧度制
(1)角度制与弧度制的定义
角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√)
(2)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的(√)
(3)1°的角比1 rad的角要大(×)
(4)1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×)
知识点2 角度制与弧度制的换算
常见角度与弧度互化公式如下：
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
【预习评价】
请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：
角度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
知识点3 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别
α为角度制
Α为弧度制
扇形的弧长
l＝
L＝|α|·R
扇形的面积
S＝
S＝l·R＝|α|·R2
【预习评价】
1.一个扇形的半径为2 cm，圆心角为，则该扇形所对的弧长l＝________cm.
答案
2.一个扇形的半径为2 cm，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm2.
答案 2
知识点4 利用弧度制表示终边相同的角
在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．
【预习评价】
1.与30°终边相同的角为( )
A．2kπ＋(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．360°k＋(k∈Z) D．2kπ＋30°(k∈Z)
答案 B
2.终边在x轴上的角的集合用弧度制表示为________．
答案 {α|α＝kπ，k∈Z}
题型一 角度与弧度的互化
【例1】 将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
解 (1)20°＝20× rad＝ rad.
(2)－15°＝－15× rad＝－ rad.
(3)π rad＝×180°＝105°.
(4)－π rad＝－×180°＝－396°.
规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·180°；n°＝n·rad.
(3)注意点：
①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；
②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
【训练1】 将下列各角度与弧度互化：
(1)π；(2)－π；(3)－157°30′.
解 (1)π＝×180°＝75°；
(2)－π＝－×180°＝－210°；
(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5× rad
＝－π rad.
题型二 用弧度制表示终边相同的角
【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.
解 (1)∵－1 480°＝－＝－10π＋，0≤＜2π，
∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π.
(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z.
又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－，β2＝－π.
【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断
2 015°是不是这个集合的元素．
解 因为150°＝.所以终边在阴影区域内角的集合为
S＝.
因为2 015°＝215°＋5×360°＝＋10π，
又＜＜.所以2 015°＝∈S，即2 015°是这个集合的元素．
方向1 求弧长
【例3－1】 已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；
解 ∵α＝120°＝π，r＝6，
∴的长l＝π×6＝4π.
方向2 求圆心角
【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
解 设圆心角是θ，半径是r，
则?或(舍)．
故扇形圆心角为.
方向3 求面积的最值
【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝rad＝2 rad.
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.
规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
课堂达标
1．与120°角终边相同的角为( )
A．2kπ－(k∈Z) B.
C．2kπ－(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
解析 120°＝且2kπ－＝(2k－4)π＋(k∈Z)，
∴120°与2kπ－(k∈Z)，终边相同．
答案 C
2．－化为角度应为( )
A．－345° B．－15°
C．－315° D．－375°
解析 －＝－×180°＝－345°.
答案 A
3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．
解析 由弧长公式l＝αR得α＝＝＝.
答案
4．下列结论不正确的是________(只填序号)．
① rad＝60°；②10°＝ rad；③36°＝ rad；④ rad＝115°.
解析 rad＝×180°＝112.5°，∴④错．
答案 ④
5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
课堂小结
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
基础过关
1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A.π B.π
C.π D.π
解析 240°＝240× rad＝π rad，
∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，故选A.
答案 A
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案 C
3．若α＝－3，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵－π＜－3＜－，∴－3是第三象限角．
答案 C
4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．
答案 π
5．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
解析 由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案
6．把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．
(1)－；(2)－1 485°；(3)－20.
解 (1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，终边相同的角的集合为.
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角．终边相同的角的集合为.
(3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而<8π－20<2π.∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋(8π－20)，k∈Z}．
7．直径为20 cm的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积．
(1)；(2)165°.
解 (1)l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)，
S＝|α|·r2＝×π×102＝π(cm2)．
(2)165°＝×165 rad＝π rad.
∴l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)．
S＝l·r＝×π×10＝π(cm2)．
能力提升
8．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
答案 B
9．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )
A.(2－sin 1cos 1)R2 B.R2sin 1cos 1
C.R2 D．(1－sin 1cos 1)R2
解析 ∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2.
∵S弓形＝S扇形－S△＝|α|R2－(2Rsin )·(Rcos )
＝×2×R2－R2sin 1·cos 1＝R2(1－sin 1cos 1)．
答案 D
10．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．
解析 ∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，
当k＝－1时，－π＜α＜－π，
当k＝0时，＜α≤2，
当k为其他整数时，满足条件的角α不存在．
答案 (－π，－π)∪(，2]
11．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________________.
解析 α＝－π－＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π；
或者α＝－π＋＋2kπ
＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π.
综上，α＝π或π.
答案 π或π
12．已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
解 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－2＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0
∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为.
13．(选做题)如图所示，点A以逆时针方向做匀速圆周运动，
已知点A每分钟转过θ角(0＜θ≤π)，经过2分钟第一次到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．
解 经过2分钟，点A转过2θ的角，经过14分钟，点A转过14θ的角．
由已知π＜2θ＜得＜θ＜，且14θ＝2kπ，k∈Z，
∴θ＝，k∈Z.
即＜＜，＜k＜，k＝4或5.
k＝4时，θ＝；k＝5时，θ＝.