第1章-4.1+4.2 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性学案

§4　正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2　单位圆与周期性
内容要求 1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.2.掌握任意角的正弦、余弦的定义(重点).3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点).4.了解周期函数的概念，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数(难点)．
知识点1　任意角的正弦、余弦函数
(1)单位圆
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．
(2)正弦函数、余弦函数的定义
如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α.
(3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域
正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的定义域为全体实数，值域为[－1,1]．
【预习评价】
1．若角α的终边与单位圆相交于点，则sin α的值为
(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
2．若角α的终边与单位圆相交于点(－，)，则cos α＝________.
答案　－
知识点2　正弦函数、余弦函数值的符号
【预习评价】
记住特殊角的正弦函数、余弦函数值非常重要，试完成下表：
x
0






π





2π
y＝sin x
0



1


0
－
－
－1
－
－
0
y＝cos x
1



0
－
－
－1
－
－
0


1
知识点3　周期函数
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，f(x＋T)＝f(x)都成立．那么就把函数f(x)称为周期函数，T叫作这个函数的周期．
(2)y＝sin x的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π.
y＝cos x的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π.
【预习评价】
如果存在非零常数T，对于函数f(x)，若存在x值有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)是周期函数吗？
提示　不一定，如函数f(x)＝x2，存在非零常数T＝4，存在x＝－2，使得
f(－2＋4)＝f(－2)，但是函数f(x)＝x2不是周期函数.
题型一　三角函数定义的应用
【例1】　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析　因为sin θ＝＝－，
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案　－8
规律方法　利用正弦函数、余弦函数的定义，求一个角的正弦函数、余弦函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．
【训练1】　若点P(2m，－3m)(m＜0)在角α的终边上，则sin α＝________.
解析　如图，点P(2m，－3m)(m＜0)在第二象限，且r＝－m，
故有sin α＝＝＝.
答案　
题型二　有关三角函数值的符号问题
【例2】　(1)α是第二象限角，判断sin αcos α的正负；
(2)若sin αcos α＜0，判断α是第几象限角．
解　(1)∵α是第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin αcos α＜0.
(2)由sin αcos α＜0知有两种可能：
或
故α是第二象限角或第四象限角．
规律方法　正余弦函数符号的确定
(1)终边在坐标轴上的角：
终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1.
(2)终边在各个象限内的角：
利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正．
【训练2】　判断下列各式的符号．
(1)sin 105°·cos 230°；
(2)sin 240°·sin 300°；
(3)cos·sin π；
(4)cos 4·cos 5.
解析　(1)因为105°是第二象限角，所以sin 105°＞0，又因为230°是第三象限角，所以cos 230°＜0，所以sin 105°·cos 230°＜0.
(2)因为240°是第三象限角，所以sin 240°＜0；又因为300°是第四象限角，所以sin 300°＜0，所以sin 240°·sin 300°＞0.
(3)因为sin π＝0.所以cos·sin π＝0.
(4)因为4是第三象限角，所以cos 4＜0，又因为5是第四象限角，
所以cos 5＞0，所以cos 4·cos 5＜0.
【例3】　若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋π)＝f(x)，当x∈[0，)时，f(x)＝2sin x，求f＋f的值．
解　∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
又∵f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为π，
∴f＋f
＝f＋f
＝f＋f
＝－f＋f
＝－2sin＋2sin＝－.
【迁移1】　在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝－f(x)”，求f(－)＋f()的值．
解　由f(x＋π)＝－f(x)知
f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)
∴f(x＋2π)＝f(x)．知f(x)的周期为2π.
∴f＋f＝f＋f
＝f＋f
又∵f(x)是奇函数，
∴原式＝－2sin＋2sin＝－.
【迁移2】　在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝”，则函数f(x)的周期为________．
解析　由f(x＋π)＝得f[(x＋π)＋π]＝＝f(x)，∴f(x＋2π)＝f(x)．∴函数f(x)的周期为2π.
答案　2π
【迁移3】　把例3中的条件“函数f(x)是定义在R上的奇函数．且满足f(x＋π)＝f(x)”改为“函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x－π)＝f(x＋π)”，求f＋f的值．
解　∵f(x)是偶函数．∴f(－x)＝f(x)，
又∵f(x－π)＝f(x＋π)．
令x＝x＋π得f(x)＝f(x＋2π)
∴函数f(x)的周期为2π.
∴f＋f＝f＋f
＝f＋f
＝2sin＋2sin
＝＋.
规律方法　常见周期函数的形式
周期函数除常见的定义式f(x＋T)＝f(x)外，还有如下四种形式：
(1)f(x＋a)＝－f(x)．(2)f(x＋a)＝.
(3)f(x－a)＝－.(4)f(x－a)＝f(x＋a)．
以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数．
课堂达标
1．若角α的终边过点，则cos α的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　易知点在单位圆上，故cos α＝.
答案　A
2．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为(　　)
A．3 B．－3
C．±3 D．5
解析　∵r＝，
cos α＝＝＝－.
∴b＝3.
答案　A
3．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为________．
解析　由题意知，角α的终边上一点的坐标为.
∴cos α＝＝.
又α的终边在第四象限．
∴α的最小值为.
答案　π
4．若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f＝1，则f的值是________．
解析　f()＝f(2π＋＋)＝f()＝1.
答案　1
5．已知角α的终边与单位圆相交于点Ρ(a，b)，若sin α＝－，求a、b的值，并说明α是第几象限角．
解　由正弦函数的定义可知b＝sin α＝－.
又a2＋b2＝1，∴a2＝1－b2＝，∴a＝±.
故a＝±，b＝－.
当a＝，b＝－时，点P在第四象限，此时角α是第四象限角；
当a＝－，b＝－时，点P在第三象限，此时角α是第三象限角．
课堂小结
1．利用定义求α的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．
2．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．
3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
基础过关
1．若sin θcos θ>0，则θ在(　　)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
答案　B
2．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x等于(　　)
A. B．±
C．－ D．－
解析　依题意得cos α＝＝x＜0，
由此解得x＝－.
答案　D
3．下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin  B．y＝sin 2x
C．y＝cos  D．y＝cos(－4x)
解析　A选项中，f(x＋)＝sin＝sin(＋)，不满足对任意x，f(x＋)＝f(x)；
B选项，f(x＋)＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋π)，不满足对任意x，f(x＋)＝f(x)；
C选项，f(x＋)＝cos (x＋)＝cos(＋)，不满足对任意x，f(x＋)＝f(x)；
D选项，f(x＋)＝cos＝cos(－4x－2π)＝cos(－4x)＝f(x)，∴选D.
答案　D
4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________.
解析　∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝
－f(x)．∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案　－2
5．下列说法中，正确的为________(填序号)．
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②终边不同的角的同名三角函数值不全相等；
③若sin α＞0，则α是第一、二象限角；
④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上的一点，则cos α＝.
解析　三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系，故①②都是正确的；当α的终边与y轴的非负半轴重合时，sin α＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cos α＝，故④也是不正确的．
答案　①②
6．确定下列三角函数值的符号：
(1)sin；(2)cos(－925°)．
解　(1)∵＝2π＋，且是第三象限角，
∴是第三象限角；∴sin＜0.
(2)∵－925°＝－3×360°＋155°，
∴－925°是第二象限角．
∴cos(－925°)＜0.
7．已知角α的终边经过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(k∈Z)，求角α的正弦函数值及余弦函数值．
解　∵θ∈(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)，
∴cos θ＜0.又x＝－3cos θ，y＝4cos θ，
∴r＝＝＝－5cos θ.
∴sin α＝－，cos α＝.
能力提升
8．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　∵r＝，
∴cos α＝＝－，
∴m>0，∴＝，即m＝.
答案　B
9．当α为第二象限角时，－的值是(　　)
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
∴－＝－＝2.
答案　C
10．若α＝＋2kπ(k∈Z)，则cos 3α＝________.
解析　cos 3α＝cos 3＝cos(＋6kπ)＝cos＝0.
答案　0
11．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析　∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m.
∵|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
答案　2
12．已知cos α<0，sin α>0，
(1)求角α的集合；
(2)求角的终边所在的象限；
(3)试判断sin，cos的符号．
解　(1)∵cos α<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．
∵sin α>0，∴角α的终边可能位于第一或第二象限或y轴非负半轴上，∴角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
(2)∵＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，
∴＋kπ<<＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(k∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，
∴是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，
∴是第三象限角．
即的终边落在第一象限或第三象限．
(3)由(2)可知，当是第一象限角时，sin>0，cos>0；
当是第三象限角时，sin<0，cos<0.
13．(选做题)已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及
sin α的值．
解　(1)由＝－，
可知sin α＜0，
由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，
∴角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.