第1章-4.3+4.4-1 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案

4.3　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4．4　单位圆的对称性与诱导公式(一)
内容要求　1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质，并能初步运用性质解决相关问题(重点).2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.
3.理解诱导公式的推导过程(重点).4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点)．
知识点1　单位圆与正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数
y＝sin x
余弦函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
周期
2π
在[0,2π]上的单调性
在，上是增加的；在上是减少的
在[π，2π]上是增加的；在[0，π]上是减少的
【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R.(√)
(2)函数y＝sin x在[0，π]上是单调减函数．(×)
(3)函数y＝cos x在[0，π]上的值域是[0,1]．(×)
(4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.(√)
知识点2　2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α.(1.8)
sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.(1.9)
sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α.(1.10)
sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.(1.11)
sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.(1.12)
这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．
【预习评价】
1．视α为锐角，则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下表.
角
2kπ＋α
π－α
π＋α
－α
2π－α
所在象限
一
二
三
四
四
2.设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？试完成下表.
相关角
终边之间的对称关系
2kπ＋α与α
终边相同
π＋α与α
关于原点对称
－α与α
关于x轴对称
2π－α与α
关于x轴对称
π－α与α
关于y轴对称
题型一　正弦函数、余弦函数的定义域问题
【例1】　求下列函数的定义域：
(1)y＝4－cos x；
(2)y＝.
解　(1)由y＝4－cos x知定义域为R.
(2)由题意知2sin x＋1≥0，即sin x≥－在一周期内满足上述条件的角为x∈，由此可以得到函数的定义域为(k∈Z)．
规律方法　利用单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质可求一些复合函数的定义域与单调区间，正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提，要树立定义域优先的意识．求正弦函数、余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式．
【训练1】　(1)函数y＝的定义域为________．
(2)函数y＝ln sin x的定义域为________．
解析　(1)由2＋cos x≠0知cos x≠－2，
又由cos x∈[－1,1]，故定义域为R.
(2)由题意知sin x＞0.又y＝sin x在[0,2π]内sin x＞0满足0＜x＜π，∴定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．
答案　(1)R　(2)(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)
题型二　正弦函数、余弦函数的值域问题
【例2】　求下列函数的值域：
(1)y＝(sin x－2)2＋1；(2)y＝msin x＋n(m≠0)．
解　(1)设t＝sin x，则有y＝(t－2)2＋1，t∈[－1,1]，
∴当t＝－1时 ，y＝(t－2)2＋1取得最大值10；
当t＝1时，y＝(t－2)2＋1取得最小值2，
∴y＝(sin x－2)2＋1的值域为[2,10]．
(2)∵sin x∈[－1,1]，且m≠0，
∴当m＞0时，y＝msin x＋n的值域是[n－m，n＋m]；
当m＜0时，y＝msin x＋n的值域是[n＋m，n－m]．
综上可知，函数y＝msin x＋n(m≠0)的值域是[n－|m|，n＋|m|]．
规律方法　求与正弦函数与余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨论思想的应用．
【训练2】　求y＝cos x，x∈[，]的最大值．
解　结合单位圆知y＝cos x在上y∈.故最大值为0，即ymax＝cos ＝0.
方向1　给角求值问题
【例3－1】　求下列三角函数的值：
(1)sin；(2)cos 960°.
解　(1)sin＝－sinπ＝－sin
＝－sinπ＝－sin＝－sin＝－.
(2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
方向2　给值求值问题
【例3－2】　已知sin(α－75°)＝－，求sin(105°＋α)的值．
解　sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
方向3　化简问题
【例3－3】　化简(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立).
解　原式＝
＝＝
＝＝－1.
规律方法　1.解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2．化简三角函数式的策略
(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值．
(2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角.
课堂达标
1．sin 585°的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
＝－sin 45°＝－.
答案　A
2．若sin x＝2m＋3，且x∈，则m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵x∈，∴结合单位圆知sin x∈，即－≤2m＋3≤.
∴－≤m≤－.
答案　C
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________．
解析　α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.
答案　
4．已知cos＝，则cos＝________.
解析　cos＝cos
＝－cos＝－.
答案　－
5．化简：.
解　原式＝
＝
＝＝1.
课堂小结
1．求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，同时注意周期性在求解时的作用．
2．明确各诱导公式的作用
(1)将角转化为0～2π之间的角求值；(2)将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值；(3)将负角转化为正角求值．
3．诱导公式的记忆
诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
基础过关
1．cos 660°的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300°
＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°)
＝cos 60°＝.
答案　B
2．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0.
∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．
答案　B
3．已知sin＝，则sin的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　sin＝sin＝sin＝－sin＝－.
答案　D
4．函数y＝2－sin x的最小正周期为________．
解析　因为2－sin(2π＋x)＝2－sin x，所以y＝2－sin x的最小正周期为2π.
答案　2π
5．f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 016)＝1，则f(2 017)＝________.
解析　∵f(2 016)＝asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＋2＝asin α＋bcos β＋2＝1，∴asin α＋bcos β＝－1.
f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋2＝－(asin α＋bcos β)＋2＝－(－1)＋2＝3.
答案　3
6．化简下列各式．
(1)sin(－π)cos π；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．
解　(1)sin(－π)cos π
＝－sin(6π＋)cos(π＋)
＝sin cos ＝.
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)
＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝1.
7．(1)已知函数y＝acos x＋b的最大值是0，最小值是－4，求a、b的值；
(2)求y＝－2sin x，x∈[－π，π]的最大值与最小值．
解　(1)当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a＝2，b＝－2或a＝b＝－2.
(2)当x＝－时，ymax＝1，
当x＝时，ymin＝－2.
能力提升
8．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于(　　)
A. B．±
C. D.
解析　由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
∵π＜α＜2π，∴α＝π.
故sin(2π＋α)＝sin α＝sin π＝－sin＝－ (α为第四象限角)．
答案　D
9．在△ABC中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(A＋B)＋cos C；③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C.
其中为常数的是(　　)
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
解析　①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin[2(π－C)]＋sin 2C
＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos[2(π－C)]＋cos 2C
＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
故选B.
答案　B
10．下列三角函数，其中n∈Z，则函数值与sin的值相同的是________(只填序号)．
①sin；②cos；③sin；
④cos；⑤sin.
解析　对于①，当n＝2m时，sin＝sin＝－sin，∴①不同；
对于②，cos＝cos＝sin，∴②，③相同；
对于④，cos＝cos＝－sin.
∴④不同；
对于⑤，sin＝sin＝sin，
∴⑤相同．
答案　②③⑤
11．已知f(x)＝则f(－)＋f()＝________.
解析　f(－)＝sin(－π)＝sin ＝，
f()＝f()－1＝f(－)－2＝sin(－)－2＝－，
∴f(－)＋f()＝－＝－2.
答案　－2
12．化简：(k∈Z)．
解　当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
13．(选做题)若≤x≤，求函数y＝sin2 x－sin x＋1的最大值和最小值．
解　令t＝sin x.
∵x∈，结合单位圆知t∈，
∴y＝t2－t＋1＝2＋，t∈，
又t＝?，
∴当t＝时，ymin＝－＋1＝；
当t＝1时，ymax＝1.