第1章-4.4-2 单位圆的对称性与诱导公式(二)学案

4.4　单位圆的对称性与诱导公式(二)
内容要求　1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．
知识点1　±α的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sin(＋α)＝cos α，cos(＋α)＝－sin α.(1.13)
sin(－α)＝cos α，cos(－α)＝sin α.(1.14)
诱导公式1.13～1.14的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
【预习评价】
请你根据上述规律，完成下列等式．
sin(π－α)＝－cos_α，cos(π－α)＝－sin_α.
sin(π＋α)＝－cos_α，cos(π＋α)＝sin_α.
知识点2　诱导公式的记忆方法
记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限．
(1)函数名不变，符号看象限
“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
(2)函数名改变，符号看象限
“函数名改变，符号看象限”指的是对于角＋α，－α(k为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
【预习评价】
(1)cos(α－)＝________.
(2)sin(α＋)＝________.
(3)cos(3π－α)＝________.
(4)sin(2π＋α)＝________.
答案　(1)sin α　(2)cos α　(3)－cos α　(4)sin α
题型一　条件求值
【例1】　已知cos＝，≤α≤，求sin的值．
解　∵α＋＝＋，
∴sin(α＋)＝sin＝cos＝.
规律方法　利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意＋α与－α，－α与＋α等互余角关系的识别和应用．
【训练1】　已知sin＝，求cos的值．
解　∵cos＝cos＝cos
＝sin＝.
题型二　利用诱导公式化简和证明
【例2】　求证：＋
＝.
证明　左边＝＋
＝＋
＝
＝＝右边，
所以原式得证．
规律方法　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
【训练2】　设sin(α＋)＝acos(α＋)，
求证：＝.
证明　∵sin(α＋)＝acos(α＋)．
∴左边＝
＝
＝
＝＝右边．
∴原等式得证．
【例3】　已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
解　由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，
即sin α＝－2cos α.
∴
＝
＝
＝－.
【迁移1】　若例3中的条件不变改为求的值，则结果如何？
解　原式＝
＝＝.
【迁移2】　若例3中的条件不变改为求的值．
解　由例题知，sin α＝－2cos α.
原式＝
＝＝＝－3.
【迁移3】　若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝
－”．求原式的值．
解　∵α＝－，
∴sin α＝sin(－)＝－sin(5×2π＋)＝－sin＝－，
cos α＝cos(－)＝cos(5×2π＋)＝cos＝，
∵＝
＝＝＝－13＋7.
规律方法　所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．
利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，π±α(k∈Z)时，要注意讨论k为奇数或偶数.
课堂达标
1．若sin α＝，则cos(＋α)的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　∵sin α＝，∴cos(＋α)＝－sin α＝－.
答案　C
2．已知sin＝，则cos的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析　cos＝cos
＝－sin＝－.
答案　D
3．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解析　原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
答案　1
4．若sin(α＋)＝，则cos(α＋)＝________.
解析　cos(α＋)＝cos[＋(α＋)]
＝－sin(α＋)＝－.
答案　－
5．已知sin(π＋α)＝－.计算：
(1)cos；
(2)sin.
解　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
(1)cos＝cos＝－sin α＝－.
(2)sin＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cos α＝.
②当α为第二象限角时，sin＝cos α＝－.
课堂小结
1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2kπ＋α(k∈Z)把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用－α化为内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．
2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.
基础过关
1．若sin(3π＋α)＝－，则cos(－α)等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析　∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝，
∴cos(－α)＝cos(－α)＝－cos(－α)
＝－sin α＝－.
答案　A
2．已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
答案　A
3．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.
故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α
＝－3sin α＝－m.
答案　C
4．已知sin α＝，则cos(＋α)的值为________．
解析　cos(＋α)＝－sin α＝－.
答案　－
5．化简：＝________.
解析　原式＝
＝＝sin θ.
答案　sin θ
6．已知角α终边经过点P(－4,3)，求
的值．
解　∵角α终边经过点P(－4,3)，
∴sin α＝，cos α＝－，
∴
＝
＝－.
7．求证：＝.(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
证明　∵左边＝
＝
＝＝
＝＝＝右边．
∴原式成立．
能力提升
8．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.
答案　D
9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________.
解析　cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1°
cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2°
……
cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°
∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋
(cos 90°＋cos 180°)
＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1.
答案　－1
10．已知α为第二象限角，化简＝________.(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解析　原式＝＝.
∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴原式＝＝－1.
答案　－1
11．若k∈{4,5,6,7} ，且sin＝－sin α，
cos＝cos α，则k＝________.
解析　利用验证法，当k＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k＝5,6,7时，不符合条件．故k＝4.
答案　4
12．化简求值：
(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ；
(2)sin(2nπ－)·cos(nπ＋)(n∈Z)．
解　(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝cos ＋cos ＋cos(π－)＋cos(π－)＝cos ＋cos －
cos －cos ＝0.
(2)①当n为奇数时，
原式＝sin(－)·(－cos )
＝sin(π－)·cos(π＋)
＝－sin ·cos ＝－×＝－；
②当n为偶数时，
原式＝－sin ·cos 
＝－sin(π－)·cos(π＋)
＝sin ·cos 
＝.
13．(选做题)是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解　由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．