第1章-6 余弦函数的图像与性质学案

§6　余弦函数的图像与性质
内容要求　1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用(难点)．
知识点1　余弦函数的图像
余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫余弦曲线．
根据诱导公式sin＝cos x，x∈R.只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图像向左平移个单位长度即可得到余弦函数图像(如图)．
要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，可以通过描出(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝
cos x，x∈[0,2π]的图像．
【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的图像可以向左、向右无限伸展．(√)
(2)y＝cos x 的图像与y＝sin x的形状完全一样，只是位置不同(√)
(3)y＝cos x的图像与x轴有无数个交点(√)
(4)y＝cos x的图像关于y轴对称(√)
知识点2　余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，递增；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝－cos x的最小正周期为2π.(√)
(2)函数y＝－cos x在区间[0，]上是增函数．(√)
(3)函数y＝sin(x－)的图像关于x＝0对称．(√)
(4)函数y＝sin(－x)是奇函数．(×)
题型一　余弦函数的图像及应用
【例1】　画出y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出：
(1)y≥时x的集合；
(2)－≤y≤时x的集合．
解　用“五点法”作出y＝cos x的简图．

(1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于，点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为.
当x∈R时，若y≥，
则x的集合为.
(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，k∈Z，，k∈Z点和，k∈Z，，k∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，
即当－≤y≤时x的集合为：
或
.
规律方法　“五点法”画函数图像的三个步骤
【训练1】　(1)函数y＝cos 2x，x∈[0,2π]的简图是(　　)
解析　由2x＝0，，π，，2π可得五点，描图知，A为x∈[0，π]上的简图；D为x∈[0,2π]上的简图．
答案　D
(2)作出函数y＝1－cos x在[－2π，2π]上的图像．
解　①列表：
x
0
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝1－cos x
1
1
②作出y＝1－cos x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像．从而得出y＝1－cos x在x∈[－2π，2π]上的图像．
题型二　余弦函数的性质
【例2】　已知f(x)＝2＋cos x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数的最小正周期．
解　(1)∵f(x)＝2＋cos x的定义域为R且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)＝2＋cos x为偶函数．
(2)∵y＝cos x在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的，
∴y＝2＋cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2 kπ，2 kπ＋π]( k∈Z)．
(3)由cos x的周期性知y＝2＋cos x的最小正周期为2π.
规律方法　对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
【训练2】　(1)求函数y＝1－cos x的单调区间；
(2)比较cos与cos的大小．
解　(1)∵－＜0，
∴y＝1－cos x的单调性与y＝cos x的单调性相反．
∵y＝cos x的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴y＝1－cos x的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
(2)cos＝cos＝cos.
cos＝cos.
又0＜＜＜π，
且函数y＝cos x在[0，π]上是减少的，
∴cos＞cos，即cos＜cos.
【例3】　函数y＝－cos2x＋cos x的值域为________．
解析　y＝－2＋.
因为－1≤cos x≤1，
所以当cos x＝时，ymax＝.
当cos x＝－1时，ymin＝－2.
所以函数y＝－cos2x＋cos x的值域是.
答案　
【迁移1】　求本例中x∈时函数的值域．
解　∵y＝－2＋，
因为x∈，所以≤cos x≤1.
所以当cos x＝时ymax＝，
cos x＝1时ymin＝0，
∴原函数的值域为[0，]．
【迁移2】　求本例中x∈时函数的值域．
解　由x∈，所以0≤cos x≤1，
此时函数y＝－cos2x＋cos x的值域也为.
【迁移3】　若将本例改为已知函数y＝a－bcos x的值域为，求ab的值．
解　∵函数y＝a－bcos x的最大值是，最小值是－.
当b＞0时，由题意得：
∴
ab＝.
当b＜0时，由题意得：
∴
ab＝－.
综上所述，ab＝±.
规律方法　与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法
(1)利用sin x，cos x的有界性．
(2)利用sin x，cos x的单调性．
(3)化为sin x＝f(x)或cos x＝f(x)，利用|f(y)|≤1来确定．
(4)通过换元转化为二次函数.
课堂达标
1．下列函数中，不是周期函数的是(　　)
A．y＝|cos x| B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
解析　画出y＝sin|x|的图像(图略)，易知D选项不是周期函数．
答案　D
2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析　∵sin＝－sin＝－cos 2x，
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
答案　B
3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是________．
解析　如图，可把x轴下方图形补到x轴上方阴影部分，此时所围面积可变成一个矩形．
答案　2π
4．使cos x＝有意义的实数m的取值范围是________．
解析　－1≤≤1；即≤1；|1＋m|≤|1－m|且m≠1，得m≤0.
答案　{m|m≤0}
5．(1)已知函数y＝lg(2cos x＋1)，求它的定义域和值域；
(2)求函数y＝2－3的值域．
解　(1)2cos x＋1＞0，即cos x＞－.
∴定义域为.
令y＝lg t，t＝2cos x＋1，则0＜t≤3.
∴y≤lg 3，即值域为(－∞，lg 3]．
(2)设t＝cos x，则－1≤t≤1.
原函数可转化为：y＝2－3.
∴当t＝时，ymin＝－3；
当t＝－1时，ymax＝－.
∴值域为.
课堂小结
1．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
2．求三角函数值域或最值的常用求法
(1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方，或利用函数的单调性等来确定y的范围．
(2)将sin x或cos x用所求变量y来表示，如sin x＝f(y)，再由|sin x|≤1，构建关于y的不等式|f(y)|≤1，从而求得y的取值范围.
基础过关
1．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图像为(　　)
解析　由题意得
y＝
显然只有D合适．
答案　D
2．若f(x)＝cos x在[－b，－a]上是增函数，则f(x)在[a，b]上是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．减函数 D．增函数
解析　因为y＝cos x为偶函数并且在[－b，－a]上是增函数，所以y＝cos x在[a，b]上递减，故选C.
答案　C
3．函数y＝cos，x∈的值域是(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵0≤x≤，∴≤x＋≤π.
∴cos π≤cos≤cos ，
∴－≤y≤.故选B.
答案　B
4．函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是________．
解析　∵函数y＝cos x的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)．
∴函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)．
答案　[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
5．比较大小：cosπ________cosπ.
解析　∵cosπ＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
而0＜＜＜，∴cos＞cos，
即cos＞cos.
答案　＞
6．比较下列各组数的大小．
(1)－sin 46°与cos 221°；(2)cos与cos.
解　(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，
cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°.
∵180°>139°>136°>0°，
∴cos 139°cos 221°.
(2)cos＝cosπ＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ＝cos＝cos.
∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上递减，
∴cosπ7．求函数y＝的值域．
解　y＝＝－1.
∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3，
∴≤≤1，
∴≤≤4，∴≤－1≤3，即≤y≤3.
∴函数y＝的值域为.
能力提升
8．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析　因为函数周期为π，所以排除C、D.又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A.
答案　A
9．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°解析　∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
由正弦函数的单调性得sin 11°即sin 11°答案　C
10．函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为__________________________．
解析　要使函数有意义必须有
即解得
∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
∴函数的定义域为.
答案　
11．函数y＝cos2x－3cos x＋2的最小值为________．
解析　y＝2－，
∴当cos x＝1时，y最小值为0.
答案　0
12．已知函数y＝cos x＋|cos x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间．
解　(1)y＝cos x＋|cos x|
＝
函数图像如图所示．
(2)由图像知函数的周期是2π.
(3)由图像知函数的单调增区间为(k∈Z)．
13．(选做题)求函数f(x)＝－cos2x＋cos x＋的最大值．
解　f(x)＝－cos2x＋cos x＋，
令cos x＝t且t∈[0，1]，
则y＝－t2＋t＋
＝－＋1，
则当t＝时，f(x)取最大值1.