第1章-7.1+7.2 正切函数的定义 正切函数的图像与性质学案
文档属性
| 名称 | 第1章-7.1+7.2 正切函数的定义 正切函数的图像与性质学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 230.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-15 21:23:45 | ||
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文档简介
§7 正切函数
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
内容要求 1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)．
知识点1 正切函数的定义
(1)任意角的正切函数：
如果角α满足α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：
根据定义知tan α＝(α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)．
(3)正切值在各象限的符号：
根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负．
(4)正切线：
在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．
【预习评价】
1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tan α＝，则x的值为( )
A．7 B．8
C．15 D.
解析 由正切函数的定义tan α＝＝，解之得x＝8.
答案 B
2．函数y＝tan 2x的定义域为________．
解析 由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z)．
解得x≠＋(k∈Z)．
答案
知识点2 正切函数的图像及特征
(1)y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)：
(2)正切曲线的特征：
正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．
【预习评价】
正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？
提示 正切函数的对称中心除了原点外，诸如(π，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心．
知识点3 正切函数的性质
函数
y＝tan x
定义域
值域
R
周期性
周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在(k∈Z)上是增加的
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数为定义域上的增函数(×)
(2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tan x是增加的．(√)
(3)若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数(×)
(4)正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)k∈Z.(×)
题型一 正切函数的定义
【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α、tan α的值．
解 r＝＝5|a|，
若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－.tan α＝＝＝－；
若a＜0，则r＝－5a，
角α在第四象限，sin α＝－，
cos α＝，tan α＝－.
规律方法 已知角α终边上任一点的坐标(m，n)利用定义求tan α时，其值与该点的位置无关且tan α＝.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：
α
0
tan α
0
1
－
－1
－
【训练1】 若tan α＝，利用三角函数的定义，求sin α和cos α.
解 ∵tan α＝＞0，∴角α是第一或第三象限角．
①若角α是第一象限角，则由tan α＝，角α的终边上必有一点P(2,1)，
∴r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
②若角α是第三象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)，
∴r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－.
题型二 正切函数的图像及应用
【例2】 利用正切函数的图像作出y＝|tan x|的图像并写出使y＝的x的集合．
解 ∵当x∈时，y＝tan x≤0，
当x∈时，y＝tan x＞0，
∴y＝|tan x|＝
如图所示．
使y＝的x的集合为.
规律方法 1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±为渐近线．
2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．
【训练2】 (1)函数y＝的定义域为________．
解析 要使该函数有意义，则有
即x≠kπ－且x≠kπ＋.
答案
(2)根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集．
解 作出y＝tan x及y＝－1的图像，如下图．
∴满足此不等式的x的集合为
.
方向1 比较大小
【例3－1】 比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．
解 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0.
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan (2－π)即tan 2方向2 求解最值
【例3－2】 若x∈，求函数y＝tan2x＋2tan x＋2的最值及相应的x值．
解 令t＝tan x，∵x∈，
∴t∈[－，1]，
y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝1，
当t＝1，即x＝时，ymax＝5.
方向3 性质的综合应用
【例3－3】 已知f(x)＝－atan x(a≠0)．
(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)的单调区间；
(4)若a＞0，求f(x)在上的值域．
解 (1)∵f(x)＝－atan x(a≠0)，x∈，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)．
又∵定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)∵y＝tan x在(k∈Z)上单调递增，
∴当a＞0时，f(x)在(k∈Z)上单调递减，
当a＜0时，f(x)在(k∈Z)上单调递增．
(4)当a＞0时，f(x)在上单调递减，故x＝时，f(x)max＝－a，无最小值．
∴f(x)的值域为(－∞，－a]．
规律方法 1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小．
2．对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.
课堂达标
1．函数y＝3tan(2x＋)的定义域是( )
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z} B．{x|x≠π－，k∈Z}
C．{x|x≠π＋，k∈Z} D．{x|x≠π，k∈Z}
解析 由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋.
答案 C
2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为( )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
解析 由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z.
解之得kπ－＜x＜kπ＋，故选C.
答案 C
3．已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则α的终边在第________象限．
解析 由P点在第二象限．∴tan α＜0，cos α＞0，
∴α在第四象限．
答案 四
4．若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________.
解析 由tan θ＝＝＝.
∴m＝－.
答案 －
5．函数y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，若－＜θ＜，求θ的值．
解 因为函数y＝tan(2x＋θ)的一个对称中心为，
∴2·＋θ＝，k∈Z.∴θ＝－π，k∈Z.
又∵－＜θ＜，
∴当k＝2时，θ＝；当k＝1时，θ＝－.
∴满足题意的θ为或－.
课堂小结
1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－，x＝，然后描出三个点(0,0)，(，1)，(－，－1)，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．
2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．
(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无界函数，值域为R.
(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R，正切函数的图像是不连续的，定义域为.
(3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是增加的.
基础过关
1．已知sin θ·tan θ＜0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
解析 若sin θ＞0，tan θ＜0，则θ在第二象限；若sin θ＜0，tan θ＞0，则θ在第三象限．
答案 B
2．若已知角α满足sin α＝，cos α＝，则tan α＝( )
A. B.
C. D.
解析 由三角函数定义可知tan α＝.
答案 B
3．函数f(x)＝tan，x∈R的最小正周期为( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析 由＝2π，故选C.
答案 C
4．使函数y＝2tan x与y＝cos x同时为单调递增的区间是________________．
解析 由y＝2tan x与y＝cos x的图像知，同时为单调递增的区间为(2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)．
答案 (2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)
5．函数y＝tan x的值域是________．
解析 ∵y＝tan x在区间上单调递增．
tan＝－tan ＝－1，tan＝，
∴y＝tan x在上的值域是.
答案 [－1，]
6．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
解 由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
所以所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(k∈Z)上是增函数．
7．利用函数图像，解不等式－1≤tan x≤.
解 作出函数y＝tan x的图像，如图所示．观察图像可得：
在内，满足条件的x为－≤x≤，由正切函数的周期性可知，
满足不等式的x的解集为
.
能力提升
8．关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图像的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析 函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；
在区间上单调递增，B错误；
最小正周期为，D错误．
∵当x＝时，tan＝0，
∴为其图像的一个对称中心，故选C.
答案 C
9．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支曲线截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D.
解析 由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
答案 A
10．已知函数y＝tan ωx在(－，)是减函数，则ω的取值范围是____________．
解析 ∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
答案 [－1,0)
11．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
解析 ∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
答案 [－4,4]
12．若函数f(x)＝tan2x－atan x的最小值为－6.求实数a的值．
解 设t＝tan x，因为|x|≤，
所以t∈[－1,1]．
则原函数化为：y＝t2－at＝2－，
对称轴t＝.
①若－1≤≤1，则当t＝时，
ymin＝－＝－6，所以a2＝24(舍去)；
②若＜－1，即a＜－2时，
二次函数在[－1,1]上递增，
ymin＝2－＝1＋a＝－6，
所以a＝－7；
③若＞1，即a＞2时，二次函数在[－1,1]上递减．
ymin＝2－＝1－a＝－6，所以a＝7.
综上所述，a＝－7或a＝7.
13．(选做题)已知函数f(x)＝.
(1)求函数定义域；
(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的图像；
(4)写出f(x)的最小正周期及单调性．
解 (1)∵由cos x≠0得x≠kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域是.
(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝
f(x)(x∈[－π，π])的图像如图所示．
(4)f(x)的最小正周期为2π，递增区间是(k∈Z)，递减区间是(k∈Z)．
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
内容要求 1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)．
知识点1 正切函数的定义
(1)任意角的正切函数：
如果角α满足α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：
根据定义知tan α＝(α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)．
(3)正切值在各象限的符号：
根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负．
(4)正切线：
在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．
【预习评价】
1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tan α＝，则x的值为( )
A．7 B．8
C．15 D.
解析 由正切函数的定义tan α＝＝，解之得x＝8.
答案 B
2．函数y＝tan 2x的定义域为________．
解析 由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z)．
解得x≠＋(k∈Z)．
答案
知识点2 正切函数的图像及特征
(1)y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)：
(2)正切曲线的特征：
正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．
【预习评价】
正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？
提示 正切函数的对称中心除了原点外，诸如(π，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心．
知识点3 正切函数的性质
函数
y＝tan x
定义域
值域
R
周期性
周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在(k∈Z)上是增加的
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数为定义域上的增函数(×)
(2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tan x是增加的．(√)
(3)若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数(×)
(4)正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)k∈Z.(×)
题型一 正切函数的定义
【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α、tan α的值．
解 r＝＝5|a|，
若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－.tan α＝＝＝－；
若a＜0，则r＝－5a，
角α在第四象限，sin α＝－，
cos α＝，tan α＝－.
规律方法 已知角α终边上任一点的坐标(m，n)利用定义求tan α时，其值与该点的位置无关且tan α＝.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：
α
0
tan α
0
1
－
－1
－
【训练1】 若tan α＝，利用三角函数的定义，求sin α和cos α.
解 ∵tan α＝＞0，∴角α是第一或第三象限角．
①若角α是第一象限角，则由tan α＝，角α的终边上必有一点P(2,1)，
∴r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
②若角α是第三象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)，
∴r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－.
题型二 正切函数的图像及应用
【例2】 利用正切函数的图像作出y＝|tan x|的图像并写出使y＝的x的集合．
解 ∵当x∈时，y＝tan x≤0，
当x∈时，y＝tan x＞0，
∴y＝|tan x|＝
如图所示．
使y＝的x的集合为.
规律方法 1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±为渐近线．
2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．
【训练2】 (1)函数y＝的定义域为________．
解析 要使该函数有意义，则有
即x≠kπ－且x≠kπ＋.
答案
(2)根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集．
解 作出y＝tan x及y＝－1的图像，如下图．
∴满足此不等式的x的集合为
.
方向1 比较大小
【例3－1】 比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．
解 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0.
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan (2－π)
【例3－2】 若x∈，求函数y＝tan2x＋2tan x＋2的最值及相应的x值．
解 令t＝tan x，∵x∈，
∴t∈[－，1]，
y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝1，
当t＝1，即x＝时，ymax＝5.
方向3 性质的综合应用
【例3－3】 已知f(x)＝－atan x(a≠0)．
(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)的单调区间；
(4)若a＞0，求f(x)在上的值域．
解 (1)∵f(x)＝－atan x(a≠0)，x∈，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)．
又∵定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)∵y＝tan x在(k∈Z)上单调递增，
∴当a＞0时，f(x)在(k∈Z)上单调递减，
当a＜0时，f(x)在(k∈Z)上单调递增．
(4)当a＞0时，f(x)在上单调递减，故x＝时，f(x)max＝－a，无最小值．
∴f(x)的值域为(－∞，－a]．
规律方法 1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小．
2．对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.
课堂达标
1．函数y＝3tan(2x＋)的定义域是( )
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z} B．{x|x≠π－，k∈Z}
C．{x|x≠π＋，k∈Z} D．{x|x≠π，k∈Z}
解析 由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋.
答案 C
2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为( )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
解析 由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z.
解之得kπ－＜x＜kπ＋，故选C.
答案 C
3．已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则α的终边在第________象限．
解析 由P点在第二象限．∴tan α＜0，cos α＞0，
∴α在第四象限．
答案 四
4．若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________.
解析 由tan θ＝＝＝.
∴m＝－.
答案 －
5．函数y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，若－＜θ＜，求θ的值．
解 因为函数y＝tan(2x＋θ)的一个对称中心为，
∴2·＋θ＝，k∈Z.∴θ＝－π，k∈Z.
又∵－＜θ＜，
∴当k＝2时，θ＝；当k＝1时，θ＝－.
∴满足题意的θ为或－.
课堂小结
1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－，x＝，然后描出三个点(0,0)，(，1)，(－，－1)，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．
2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．
(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无界函数，值域为R.
(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R，正切函数的图像是不连续的，定义域为.
(3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是增加的.
基础过关
1．已知sin θ·tan θ＜0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
解析 若sin θ＞0，tan θ＜0，则θ在第二象限；若sin θ＜0，tan θ＞0，则θ在第三象限．
答案 B
2．若已知角α满足sin α＝，cos α＝，则tan α＝( )
A. B.
C. D.
解析 由三角函数定义可知tan α＝.
答案 B
3．函数f(x)＝tan，x∈R的最小正周期为( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析 由＝2π，故选C.
答案 C
4．使函数y＝2tan x与y＝cos x同时为单调递增的区间是________________．
解析 由y＝2tan x与y＝cos x的图像知，同时为单调递增的区间为(2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)．
答案 (2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)
5．函数y＝tan x的值域是________．
解析 ∵y＝tan x在区间上单调递增．
tan＝－tan ＝－1，tan＝，
∴y＝tan x在上的值域是.
答案 [－1，]
6．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
解 由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
所以所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(k∈Z)上是增函数．
7．利用函数图像，解不等式－1≤tan x≤.
解 作出函数y＝tan x的图像，如图所示．观察图像可得：
在内，满足条件的x为－≤x≤，由正切函数的周期性可知，
满足不等式的x的解集为
.
能力提升
8．关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图像的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析 函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；
在区间上单调递增，B错误；
最小正周期为，D错误．
∵当x＝时，tan＝0，
∴为其图像的一个对称中心，故选C.
答案 C
9．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支曲线截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D.
解析 由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
答案 A
10．已知函数y＝tan ωx在(－，)是减函数，则ω的取值范围是____________．
解析 ∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
答案 [－1,0)
11．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
解析 ∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
答案 [－4,4]
12．若函数f(x)＝tan2x－atan x的最小值为－6.求实数a的值．
解 设t＝tan x，因为|x|≤，
所以t∈[－1,1]．
则原函数化为：y＝t2－at＝2－，
对称轴t＝.
①若－1≤≤1，则当t＝时，
ymin＝－＝－6，所以a2＝24(舍去)；
②若＜－1，即a＜－2时，
二次函数在[－1,1]上递增，
ymin＝2－＝1＋a＝－6，
所以a＝－7；
③若＞1，即a＞2时，二次函数在[－1,1]上递减．
ymin＝2－＝1－a＝－6，所以a＝7.
综上所述，a＝－7或a＝7.
13．(选做题)已知函数f(x)＝.
(1)求函数定义域；
(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的图像；
(4)写出f(x)的最小正周期及单调性．
解 (1)∵由cos x≠0得x≠kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域是.
(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝
f(x)(x∈[－π，π])的图像如图所示．
(4)f(x)的最小正周期为2π，递增区间是(k∈Z)，递减区间是(k∈Z)．