第1章-7.3 正切函数的诱导公式学案

7.3　正切函数的诱导公式
内容要求　1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式(重点).2.掌握正切函数的诱导公式(难点)．
知识点1　正切函数的诱导公式
函数角
y＝tan x
记忆口诀
kπ＋α
tan α
函数名不变，符号看象限
2π＋α
tan α
－α
－tan α
π－α
－tan α
π＋α
tan α
＋α
－cot α
函数名改变，符号看象限
－α
cot α
【预习评价】
1．下列诱导公式中错误的是(　　)
A．tan(π－α)＝－tan α
B．cos＝sin α
C．sin(π＋α)＝－sin α
D．cos(π－α)＝－cos α
答案　B
2．tan等于(　　)
A．－cot α B．cot α
C．tan α D．－tan α
答案　A
题型一　三角函数间关系的应用
【例1】　已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tan α＝－.
(1)求sin α＋cos α的值；
(2)求的值．
解　(1)因为tan α＝＝－，所以y＝－4，则r＝5.
∴sin α＝－，cos α＝，则sin α＋cos α＝－.
(2)原式＝＝＝＝＝－10.
规律方法　三角函数之间关系的应用
利用三个三角函数之间的关系：tan α＝进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．
【训练1】　已知α为第二象限角，且tan α－＝，
求的值．
解　由tan α－＝，
得4tan2α－15tan α－4＝0，
得tan α＝－或tan α＝4.
又α为第二象限的角，
所以tan α＝－.
故＝
＝＝.
题型二　利用诱导公式求值
【例2】　求以下各式的值：
(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；
(2).
解　(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)
＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°
＝0－3×1＋1＝－2.
(2)原式＝
＝＝＝2＋.
规律方法　(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．
(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．
【训练2】　(1)tanπ＋tan的值为(　　)
A．－ B．0
C. D．－
(2)若f(x)＝tan x，则f(600°)的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　(1)tan π＋tan
＝tan＋tan
＝tan－tan
＝－－＝－，故选D.
(2)f(600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝.
答案　(1)D　(2)C
方向1　化简
【例3－1】　(1)化简：
；
(2)若a＝，求a2＋a＋1的值．
解　(1)
＝
＝
＝＝1
(2)a＝
＝
＝
＝＝1，
∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.
方向2　证明
【例3－2】　＝－tan α.
证明　左边＝
＝
＝
＝＝＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
方向3　化简并求值
【例3－3】　已知α是第三象限角，且f(α)＝
.
(1)化简f(α);
(2)若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值;
(3)若α＝－120°，求f(α)的值．(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解　(1)f(α)
＝
＝＝－cos α.
(2)因为tan(π－α)＝－2，
所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α，
所以(2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝.
因为α是第三象限角，所以cos α＝－，所以f(α)＝.
(3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
规律方法　1.三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
2．三角恒等式的证明策略
在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．
课堂达标
1．tan 300°＋sin 450°的值为(　　)
A．1＋ B．1－
C．－1－ D．－1＋
解析　tan 300°＋sin 450°
＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝－tan 60°＋sin 90°＝1－.
答案　B
2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是(　　)
A．α为锐角
B．α为不等于的任意角
C．α为任意角
D．α≠kπ＋(k∈Z)
解析　由正切函数的定义可知α≠kπ＋(k∈Z)．
答案　D
3．已知tan＝，则tan的值为________．
解析　tan＝tan
＝tan＝－tan
＝－.
答案　－
4．tan＋tan＋tan＋tan的值为________．
解析　原式＝tan＋tan＋tan＋tan
＝tan＋tan－tan－tan＝0.
答案　0
5．已知角α的终边经过点P(4，－3)，
(1)求sin α，cos α，tan α的值;
(2)求·的值．
解　(1)因为r＝＝5，
所以sin α＝＝－，
cos α＝＝，
tan α＝＝－.
(2)·
＝·＝－＝－＝－.
课堂小结
(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k·±α中，如果k为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k·±α所在的象限．
(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．
特别提醒　应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.
基础过关
1．tan的值为(　　)
A. B．－
C.  D．－
解析　tan＝tan＝tan＝.
答案　C
2．已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是(　　)
A．－ B．－
C．± D．±
解析　∵角α终边上有一点P(5n,4n)，
∴tan α＝，tan(180°－α)＝－tan α＝－.
答案　A
3．已知tan(－80°)＝k，那么tan 100°的值是(　　)
A．－k B．k
C. D.
解析　tan(－80°)＝－tan 80°＝k，则tan 80°＝－k.
tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k.
答案　B
4．函数f(x)＝asin 2x＋btan x＋2，且f(－3)＝5，则f(3)等于________．
解析　∵f(－3)＝asin(－6)＋btan(－3)＋2＝5，
∴－asin 6－btan 3＝3，即asin 6＋btan 3＝－3.
∴f(3)＝asin 6＋btan 3＋2＝－3＋2＝－1.
答案　－1
5．已知tan＝，则tan＝________.
解析　tan＝tan
＝－tan＝－.
答案　－
6．求下列各式的值：
(1)sincostan；
(2)sin(－1 200°)tan－cos 585°tan.
解　(1)原式＝sincostan
＝costan
＝cos＝
＝－×＝－.
(2)原式＝－sin(4×360°－240°)tan－cos(360°＋225°)
＝－sin(－240°)tan－cos 45°tan
＝×sin(180°＋60°)－tan
＝－sin 60°－
＝－.
7．已知角α的终边与单位圆交于点，
试求的值．
解　原式＝
＝－＝－tan2α.
∵角α的终边与单位圆交于点，
∴tan α＝－.∴原式＝－.
能力提升
8．已知tan(π－α)＝－，则的值是(　　)
A. B.
C. D．1
解析　由tan(π－α)＝－得tan α＝.
∴＝＝＝.
答案　B
9．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析　原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)
＝cot(63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]
＝－1.
答案　B
10．已知tan(π－x)＝，则tan(x－3π)＝________.
解析　由tan(π－x)＝，知tan x＝－，
故tan(x－3π)＝－tan(3π－x)＝－tan(π－x)
＝tan x＝－.
答案　－
11．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.
解析　由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z.
∴tan β＝tan(2kπ＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.
答案　－2
12．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－.
13．(选做题)设tan＝a，求的值．
解　原式＝
＝
＝＝.