第1章-8-1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)学案

§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)
内容要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ) 的实际意义(重点).2.能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，观察参数A，ω、φ对函数图像变化的影响(难点)．
知识点1　振幅变换
(1)在函数y＝Asin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．
(2)要得到函数y＝Asin x(A＞0，A≠1)的图像，只要将函数y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到．
【预习评价】　
(1)函数y＝－2sin的最大值为________最小值为________．
答案　2　－2
(2)函数y＝－cos x取得最大值时的x的集合为________．
答案　{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}
知识点2　相位变换
(1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．
(2)对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
【预习评价】
(1)如何由y＝sin x的图像变换为y＝sin的图像？
提示　向左平移个单位长度．
(2)如何由y＝sin的图像变换为y＝sin x的图像？
提示　向右平移个单位长度
知识点3　周期变换
(1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率．
(2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
【预习评价】
1．函数y＝2sin的周期、振幅依次是(　　)
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
答案　B
2．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________.
答案　±2
题型一　五点作图法
【例1】　用五点法作函数y＝3sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．
解　(1)列表：
x





x－
0

π

2π
y
0
3
0
－3
0
(2)描点：在直角坐标系中描出点，，，，.
(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．
(4)这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3 sin的图像．
此函数振幅为3，周期为4π，频率为，初相为－.
规律方法　五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：
(1)分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想．
(2)取ωx0＋φ＝0，得x0＝－，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标．
【训练1】　用五点法作函数y＝2sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．
解　(1)列表：列表时2x＋取值为0、、π、、2π，再求出相应的x值和y值.
x
－




2x＋
0

π

2π
y
0
2
0
－2
0
(2)描点．
(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如右图所示．
利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图(图略)．
此函数的振幅为2，周期为π，频率为，初相为.
题型二　由图像求函数的解析式
【例2】　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分如图所示，求此函数的解析式．
解　方法一　(逐一定参法)
由图像知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图像上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin.
方法二　(待定系数法)
由图像知A＝3.∵图像过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
方法三　(图像变换法)
由A＝3，T＝π，点在图像上，可知函数图像由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
规律方法　三角函数中系数的确定方法：
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)第一零点法：如果从图像可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图像平移规律确定相关的参数．
【训练2】　如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数解析式．
解　由图像知A＝5.
由＝－π＝，
得T＝3π，
∴ω＝＝.∴y＝5sin(x＋φ)．
下面用两种方法求φ：
方法一　(单调性法)
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，
∴＋φ∈[＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
由sin(＋φ)＝0，得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|<π，∴φ＝.
方法二　(最值点法)
将最高点坐标(，5)代入y＝5sin(x＋φ)，
得5sin(＋φ)＝5，
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|<π，∴φ＝.
∴函数式为y＝5sin(x＋)．
【例3】　如何由y＝sin x的图像得到y＝2cos的图像？
解　y＝2cos＝2cos 
＝2cos
＝2sin，
【迁移1】　从例3中得到的函数图像再得出y＝2cos的图像应如何变换？
解　因为y＝2cos
＝2cos
＝2cos，
所以只需把y＝2cos的图像向左平移π个单位．
【迁移2】　从例3中得到的函数图像再得出y＝2cos的图像应如何变换？
解　因为y＝2cos＝2cos，所以只需把y＝2cos的图像向左平移π个单位．
【迁移3】　从例3中得到的函数图像再得出y＝－2cos的图像应如何变换？
解　把y＝2cos的图像作关于x轴的对称图像即可．
规律方法　通常，由y＝sin x的图像经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的图像的步骤如下：
(1)(相位变换)先把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y＝sin(x＋φ)的图像．
(2)(周期变换)把函数y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin(ωx＋φ)的图像．
(3)(振幅变换)把函数y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
(4)把得到的y＝Asin(ωx＋φ)的图像向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位长度，得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像．
也可以先周期变换再相位变换.
课堂达标
1．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|<)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析　T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
答案　A
2．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析　C1：y＝cos x，C2：y＝sin，
首先曲线C1，C2统一三角函数名，可将C1：y＝cos x用诱导公式处理．
y＝cos x＝sin，即y＝sin
y＝sin＝sin2
y＝sin 2＝sin.
答案　D
3．把函数y＝sin的图像向________平移________个单位得到y＝sin 2x的图像．
解析　y＝sin＝sin 2，所以将其向右移个单位得到y＝sin 2x的图像．
答案　右　
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)，且此函数的图像如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
解析　由＝－＝，∴T＝π，
由T＝(ω＞0)得ω＝2.由2×＋φ＝π得φ＝.
∴点的坐标为(2，)．
答案　
5．作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图像．
解　列表：
x－
0

π

2π
x
π

4π

7π
y＝sin
0

0
－
0
描点画图(如图所示)：
课堂小结
1．图像变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x或函数值y进行的变换．图像变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x＋φ来代替y＝f(x)中的x，周期变换是用ωx(ω＞0)代替x，振幅变换是用来代替y(A＞0)．
2．图像变换中，还常用以下三种变换：
(1)y＝－sin x的图像可由y＝sin x的图像沿x轴翻折180°而得到．
(2)y＝|sin x|的图像可由y＝sin x的图像得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到．
(3)y＝sin |x|的图像可通过让y＝sin x的图像在y轴右边的部分不变，y轴左边的图像由y轴右侧的图像关于y轴翻转180°而得到.
基础过关
1．最大值是，周期是，初相是的函数表达式可能是(　　)
A．y＝sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝sin
解析　∵函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最大值为，周期为，初相为，∴A＝，ω＝3，φ＝.
答案　A
2．函数y＝2sin的相位和初相分别是(　　)
A．－2x＋， B．2x－，－
C．2x＋， D．2x＋，
解析　y＝2sin
＝2sin
＝2sin
∴相位和初相分别为2x＋，.
答案　C
3．将函数y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，再将图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的函数解析式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析　将y＝sin x的图像上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin的图像．
答案　A
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值是－3，周期为，且它的图像经过点，则这个函数的解析式是________．
解析　由已知得A＝3，T＝＝，故ω＝6.
∴y＝3sin(6x＋φ)．把代入，
得3sin φ＝－，sin φ＝－.
又π＜φ＜2π，∴φ＝.
∴y＝3sin.
答案　y＝3sin
5.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像如图所示，则f(x)=________．
解析　由图知A＝1，T＝4＝π，∴ω＝2.
又2×＋φ＝π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
答案　sin
6．怎样由函数y＝sin x的图像变换得到y＝sin的图像，试叙述这一过程．
解　由y＝sin x的图像通过变换得到函数y＝sin的图像有两种变化途径：
①y＝sin xy＝sin
y＝sin.
②y＝sin x
y＝sin 2xy＝sin.
7．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．
解　(1)因为函数图像的一个最高点为，
所以A＝，x＝为其中一条对称轴，
这个最高点到相邻最低点的图像与x轴交于点.
所以＝－＝.
又T＝＝π，所以ω＝2，
此时y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，
又f＝，所以sin＝1，
即＋φ＝＋2kπ，即φ＝＋2kπ.
又φ∈，所以φ＝，
所以y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
0




π
2x＋


π

2π

y
1

0
－
0
1
作图如下：
能力提升
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图所示，则f等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　∵T＝－＝，∴T＝.
∴＝，即ω＝3.
又∵3×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，∴φ可取－.
∴f＝sin＝sin＝sin＝－.
答案　B
9．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为(　　)
A. B.
C．0 D．－
解析　将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图像，因为此时函数为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以选B.
答案　B
10．某同学给出了以下论断：
①将y＝cos x的图像向右平移个单位，得到y＝sin x的图像；
②将y＝sin x的图像向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图像；
③将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图像；
④函数y＝sin的图像是由y＝sin 2x的图像向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是______（填序号）．
答案　①③
11．若y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的最小值为－2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过点(0,1)，则其解析式是________．
解析　由最小值为－2可得A＝2，
由题意得T＝6π＝，故ω＝，
则y＝2sin，
又sin φ＝，|φ|＜，故φ＝，
所以y＝2sin.
答案　y＝2sin
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(2x)cos x，求g的值．
解　(1)由图可知A＝2，T＝－＝4π，则ω＝＝，
∴解析式为f(x)＝2sin，
且由f(x)的图像过点，
即2sin＝2，可得φ＝2kπ＋，
又－＜φ＜，得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵g(x)＝f(2x)cos x
＝×2sincos x
＝sincos x，
∴g＝sincos
＝sincos
＝(－1)×＝.
13．(选做题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式．
(2)将x＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得图像沿x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像．写出函数y＝g(x)的解析式并用“五点法”画出y＝g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像．
解　(1)由已知，易知A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，
解得T＝6π，所以ω＝.
把(0,1)代入解析式y＝2sin，
得2sin φ＝1.又|φ|＜，所以解得φ＝.
所以f(x)＝2sin.
(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin，再平移，得g(x)＝2sin＝2sin.
列表：
x－
0

π

2π
x





2sin
0
2
0
－2
0
图像如图：