第1章-8-2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学案

§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)
内容要求　1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法(重、难点).
2.理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性(难点)．
知识点　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期
T＝
奇偶性
φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数
对称轴方程
由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得
对称中心
由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得
单调性
递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；
递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得
【预习评价】
(1)函数y＝2sin(2x＋)＋1的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　当2x＋＝2kπ＋时，即x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为3.
答案　C
(2)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A．4π B．2π C．π D.
解析　由题意T＝＝π，故选C.
答案　C
题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题
【例1】　求函数y＝sin，x∈的值域．
解　∵0≤x≤，∴0≤2x≤π.
∴≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1.
∴－1≤sin≤，即－1≤y≤.
∴函数y＝sin，x∈的值域为[－1，]．
规律方法　求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：
(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；
(2)作出y＝sin u(注意u的取值范围)的图像；
(3)结合图像求出值域．
【训练1】　求函数y＝2sin的最大值和最小值．
解　∵－≤x≤，
∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
方向1　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期
【例2－1】　求下列函数的周期：
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝sin(x∈R)．
解　(1)T＝＝π.
(2)T＝＝4.
方向2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性与对称性
【例2－2】　(1)函数y＝sin的图像的对称轴方程为________，对称中心为________．
(2)若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是(　　)
A. B.
C. D．－
解析　(1)令y＝±1，即sin＝±1，则2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，即对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．令y＝0，即sin＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，∴函数y＝sin的图像的对称中心为(k∈Z)．
(2)由f(x)＝2sin为偶函数得φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋.
∴当k＝0时φ＝.故选A.
答案　(1)x＝＋(k∈Z)　(k∈Z)
(2)A
方向3　函数y＝Asin(ωx＋φ) 单调性
【例2－3】　求函数y＝2sin的递增区间．
解　∵y＝2sin＝－2sin，
∴函数y＝2sin的递增区间就是函数
u＝2sin的递减区间．
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的递增区间为：
(k∈Z)．
规律方法　1.关于函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性
(1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴或求φ值．
(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z，函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况．
2．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)单调区间的四个步骤
(1)将ω化为正值．
(2)根据A的符号确定应代入y＝sin θ的单调增区间，还是单调减区间．
(3)将ωx＋φ看作一个整体，代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在R上的单调区间．
(4)如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值求单调区间．
题型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
【例3】　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值．即sin φ＝±1.
依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝.
由f(x)的图像关于点M对称，可知
sin＝0，解得ω＝－，k∈Z.
又∵f(x)在[0，]上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0，
∴当k＝1时，ω＝；
当k＝2时，ω＝2.
∴φ＝，ω＝2或ω＝.
规律方法　函数y＝Asin(ωx＋φ)综合应用的注意点
(1)对于平移问题，应特别注意要提取x的系数，即将ωx＋φ变为ω后再观察x的变化．
(2)对于对称性、单调性问题应特别注意将ωx＋φ看作整体，代入一般表达式解出x的值．
(3)对于值域问题同样是将ωx＋φ看作整体，不同的是根据x的范围求ωx＋φ的范围，再依据图像求值域．
(4)对于奇偶性问题，由φ来确定，φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数．
【训练2】　设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解　(1)∵x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，由此可得φ＝－.
(2)由题意，得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝sin的单调递增区间为
，k∈Z.
课堂达标
1．函数y＝2sin－1的图像的一个对称中心坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析　3x－＝kπ(k∈Z)，x＝＋(k∈Z)，
令k＝0，则x＝，把x＝代入y＝2sin－1，
得y＝－1，∴对称中心为.
答案　D
2．函数y＝3sin的单调递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析　y＝3sin＝－3sin，
∴y＝3sin的递减区间就是
y＝sin(3x－)的递增区间．
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)得－≤x≤＋(k∈Z)．
答案　C
3．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B．1 C. D.
解析　cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.
答案　A
4．函数f(x)＝3sin的图像为C，下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．
①图像C关于直线x＝对称；
②图像C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.
解析　由于2×－＝，故①正确．
由于2×－＝π，故②正确；由x∈得2x－∈，故函数f(x)为增函数，故③正确；将函数y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可得函数y＝3sin2＝3sin的图像，故④不正确．
答案　①②③
5．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
解　(1)由2x－＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋(k∈Z)．所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
由2x－＝kπ得x＝＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z.
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤π，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
课堂小结
1．对于y＝Asin(ωx＋φ)，其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．
3．y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x轴垂直的直线.
基础过关
1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像(　　)
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
答案　A
2．函数y＝2sin在一个周期内的三个“零点”横坐标是(　　)
A．－，， B．－，，
C．－，， D．－，，
解析　由题x＝－，－时y＝2sin≠0，故A、C、D错．
答案　B
3．已知函数f(x)＝sin，若存在α∈(0，π)，使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　f(x＋α)＝sin，
f(x＋3α)＝sin，
因为f(x＋α)＝f(x＋3α)且α∈(0，π)，
所以2x＋2α－＝2x＋6α－.
所以α＝.故选D.
答案　D
4．函数y＝sin，x∈的单调递增区间为________．
解析　∵x∈，∴x＋∈，
∵y＝sin x在上单调递增．
∴－≤x＋≤.
解得－π≤x≤.故填.
答案　[－π，]
5．函数y＝－2sin的图像与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________．
解析　函数y＝－2sin的图像与x轴相交．
∴4x＋＝kπ，∴x＝－＋(k∈Z)．
当k＝1时，交点离原点最近坐标为.
答案　
6．已知函数f(x)＝－2asin＋b的定义域为，值域为[－5,4]，求常数a，b的值．
解　f(x)＝－2asin＋b，
∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈.
则当a＞0时，
∴a＝3，b＝1.
当a＜0时，
∴a＝－3，b＝－2.
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解　(1)∵图像最高点坐标为，∴A＝5.
∵＝－＝，∴T＝π.
∴ω＝＝2.∴y＝5sin(2x＋φ)．代入点，得sin＝1.∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin.
(2)∵函数的增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴增区间为(k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)．
∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．
能力提升
8．将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数
(　　)
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
解析　由题可得平移后的函数为y＝3sin＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件，故选B.
答案　B
9．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析　函数f(x)＝cos的图像可由y＝cos x的图像向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．
答案　D
10．ω为正实数，函数f(x)＝2sin ωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．
解析　由≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.
答案　2
11．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是________．
解析　令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．由k＝0，得x＝；
由k＝－1，得x＝－.
答案　x＝－
12．已知方程sin＝k在x∈[0，π]上有两个解，求实数k的范围．
解　令
y1＝sin，y2＝k，在同一坐标系内作出它们的图像(0≤x≤π)，由图像可知，当1≤k＜时，直线y2＝k与曲线y＝sin在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k＜时，原方程有两个解．
13．(选做题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)与对数函数y＝g(x)在同一坐标系中的图像如图所示．
(1)分别写出两个函数的解析式；
(2)方程f(x)＝g(x)共有多少个解？
解　(1)由图像知A＝2，φ＝0，T＝2，
故ω＝π，f(x)＝2sin πx.
设g(x)＝logax，由图像知loga4＝－1，
故a＝，g(x)＝logx.
(2)因g(x)为减函数，f(x)最小值为－2.故当g(x)≥－2时，可能有交点，由logx≥－2，得0＜x≤16.当2≤x≤16时，f(x)与g(x)在f(x)的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；
当0＜x＜2时，由图像知有3个交点；
当x＞16时，图像无交点．
综上可知，f(x)＝g(x)共有17个解．