第1章-9 三角函数的简单应用学案
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文档简介
§9 三角函数的简单应用
内容要求 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)．
知识点1 利用三角函数模型解决实际问题
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．
利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：
(1)收集数据，画出“散点图”；
(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．
【预习评价】 求下列函数的周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；
(2)y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；
(3)y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝.
知识点2 三角函数模型在物理学中的应用
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：
(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；
(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；
(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
【预习评价】
在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中，A，b与函数的最值有何关系？
提示 A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：
(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；
(2)A＝，b＝.
题型一 已知解析式求周期最值
【例1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解 (1)当t＝0时，E＝110(V)．
即开始时的电压为110 V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V.
当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键．
【训练1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin.
(1)作出它的图像；
(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)图略．
(2)当t＝0时，
s＝6sin＝6×＝3，即
单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.
(3)s＝6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.
(4)s＝6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s.
题型二 已知模型求解析式
【例2】 如图所示，表示电流I与时间t的关系式：I＝Asin(ωt＋π)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．
解 由图像可知A＝300，
又T＝2＝，∴ω＝＝100π.
又∵t＝－时，ωt＋φ＝0，
∴100π(－)＋φ＝0即φ＝，
∴I＝300sin.
规律方法 将实际问题的“条件”与函数模型“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”中A，ω，φ，B的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键．
【训练2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．
解析 设该振子振动的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t轴，振幅A为2，
周期T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝＝，
则y＝2sin.
将点(0.1,2)代入，得φ＝.
故该振子振动的函数解析式为y＝2sin.
答案 y＝2sin
【例3】 据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋7来表示(x为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为( )
A．4.2万元 B．5.6万元
C．7万元 D．8.4万元
解析 由题知A＝2，T＝2×(7－3)＝8，
∴ω＝，φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7，
把x＝10代入得y＝7＋≈8.4万元．
答案 D
【迁移1】 例3改为问：在一年内商品价格不低于8万元的时间持续多长？
解 由f(x)＝2sin＋7≥8易知有5个月的时间满足条件．
【迁移2】 例3中当价格低于7万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？何时加班结束？
解 由2sin＋7＜7得5＜x＜9，所以应该在5月份开始加班，直到9月份加班结束．
规律方法 三角函数的应用在生产生活中的求解框图
课堂达标
1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A. B. C. D.
解析 T＝，所以，＝＝2π，则l＝.
答案 D
2.函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x
D．f(x)＝x··
解析 观察图像知，函数为奇函数，排除D；又函数在x＝0处有定义，排除B；令x＝，f＝0，A不合适，故选C.
答案 C
3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．
解析 t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式知单摆周期T＝＝π，频率为.
答案
4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析 由题意得 ∴
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
答案 20.5
5．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
解 (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，则≤t≤.
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
课堂小结
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
基础过关
1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析 该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C.
答案 C
2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图像如图所示，则当t＝秒时，电流强度是( )
A．－5安 B．5安
C．5 安 D．10安
解析 由图像知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．
(，10)为五点中的第二个点，
∴100π×＋φ＝.
∴φ＝，∴I＝10sin(100πt＋)，
当t＝秒时，I＝－5安．
答案 A
3．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为( )
A．24.5天 B．29.5天
C．28.5天 D．24天
解析 由题图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期．
答案 B
4．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
解析 ∵T＝，又∵<<，
∴8π∴m＝26,27,28.
答案 26,27,28
5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin.
答案 10sin
6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(0<φ<)．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解 (1)最大用电量为50万kW·h，
最小用电量为30万kW·h.
(2)观察图像可知从8～14时的图像是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝.
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，
又∵0<φ<，∴解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
7.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解 (1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos t0，得
cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
能力提升
8．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
解析 由－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π.
答案 C
9.如图所示，某风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．则h与t满足的函数关系为( )
A．h＝sin＋2.5
B．h＝2sin＋1.5
C．h＝－2cost＋2.5
D．h＝2cost＋2.5
解析 最大值M＝4.5 m，最小值m＝0.5 m，所以A＝＝2，b＝＝2.5，因为T＝12，所以ω＝＝，又风车从最低点开始运动，所以×0＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，不妨设φ＝，所以h与t满足的函数关系为h＝2sin＋2.5＝
－2cost＋2.5.
答案 C
10．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次达到C点，则振子在5秒内通过的路程及5 s末相对平衡位置的位移大小分别为________cm，________cm.
解析 振幅A＝10，T＝0.5×2＝1，每个周期通过的路程为40 cm,5秒内通过
200 cm；经过5个周期仍回到初始位置B，位移为10 cm.
答案 200,10
11．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析 依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin(·ω＋)＝－1，
∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．
∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，所以－<，
即ω<12，令k＝0，得ω＝.
答案
12．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解 (1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.
(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1>1，
∴cos t>0，∴2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，
即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.
13．(选做题)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为
＝.
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s．
内容要求 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)．
知识点1 利用三角函数模型解决实际问题
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．
利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：
(1)收集数据，画出“散点图”；
(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．
【预习评价】 求下列函数的周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；
(2)y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；
(3)y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝.
知识点2 三角函数模型在物理学中的应用
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：
(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；
(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；
(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
【预习评价】
在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中，A，b与函数的最值有何关系？
提示 A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：
(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；
(2)A＝，b＝.
题型一 已知解析式求周期最值
【例1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解 (1)当t＝0时，E＝110(V)．
即开始时的电压为110 V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V.
当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键．
【训练1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin.
(1)作出它的图像；
(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)图略．
(2)当t＝0时，
s＝6sin＝6×＝3，即
单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.
(3)s＝6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.
(4)s＝6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s.
题型二 已知模型求解析式
【例2】 如图所示，表示电流I与时间t的关系式：I＝Asin(ωt＋π)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．
解 由图像可知A＝300，
又T＝2＝，∴ω＝＝100π.
又∵t＝－时，ωt＋φ＝0，
∴100π(－)＋φ＝0即φ＝，
∴I＝300sin.
规律方法 将实际问题的“条件”与函数模型“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”中A，ω，φ，B的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键．
【训练2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．
解析 设该振子振动的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t轴，振幅A为2，
周期T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝＝，
则y＝2sin.
将点(0.1,2)代入，得φ＝.
故该振子振动的函数解析式为y＝2sin.
答案 y＝2sin
【例3】 据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋7来表示(x为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为( )
A．4.2万元 B．5.6万元
C．7万元 D．8.4万元
解析 由题知A＝2，T＝2×(7－3)＝8，
∴ω＝，φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7，
把x＝10代入得y＝7＋≈8.4万元．
答案 D
【迁移1】 例3改为问：在一年内商品价格不低于8万元的时间持续多长？
解 由f(x)＝2sin＋7≥8易知有5个月的时间满足条件．
【迁移2】 例3中当价格低于7万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？何时加班结束？
解 由2sin＋7＜7得5＜x＜9，所以应该在5月份开始加班，直到9月份加班结束．
规律方法 三角函数的应用在生产生活中的求解框图
课堂达标
1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A. B. C. D.
解析 T＝，所以，＝＝2π，则l＝.
答案 D
2.函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x
D．f(x)＝x··
解析 观察图像知，函数为奇函数，排除D；又函数在x＝0处有定义，排除B；令x＝，f＝0，A不合适，故选C.
答案 C
3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．
解析 t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式知单摆周期T＝＝π，频率为.
答案
4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析 由题意得 ∴
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
答案 20.5
5．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
解 (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，则≤t≤.
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
课堂小结
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
基础过关
1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析 该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C.
答案 C
2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图像如图所示，则当t＝秒时，电流强度是( )
A．－5安 B．5安
C．5 安 D．10安
解析 由图像知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．
(，10)为五点中的第二个点，
∴100π×＋φ＝.
∴φ＝，∴I＝10sin(100πt＋)，
当t＝秒时，I＝－5安．
答案 A
3．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为( )
A．24.5天 B．29.5天
C．28.5天 D．24天
解析 由题图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期．
答案 B
4．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
解析 ∵T＝，又∵<<，
∴8π
答案 26,27,28
5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin.
答案 10sin
6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(0<φ<)．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解 (1)最大用电量为50万kW·h，
最小用电量为30万kW·h.
(2)观察图像可知从8～14时的图像是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝.
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，
又∵0<φ<，∴解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
7.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解 (1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos t0，得
cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
能力提升
8．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
解析 由－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π.
答案 C
9.如图所示，某风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．则h与t满足的函数关系为( )
A．h＝sin＋2.5
B．h＝2sin＋1.5
C．h＝－2cost＋2.5
D．h＝2cost＋2.5
解析 最大值M＝4.5 m，最小值m＝0.5 m，所以A＝＝2，b＝＝2.5，因为T＝12，所以ω＝＝，又风车从最低点开始运动，所以×0＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，不妨设φ＝，所以h与t满足的函数关系为h＝2sin＋2.5＝
－2cost＋2.5.
答案 C
10．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次达到C点，则振子在5秒内通过的路程及5 s末相对平衡位置的位移大小分别为________cm，________cm.
解析 振幅A＝10，T＝0.5×2＝1，每个周期通过的路程为40 cm,5秒内通过
200 cm；经过5个周期仍回到初始位置B，位移为10 cm.
答案 200,10
11．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析 依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin(·ω＋)＝－1，
∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．
∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，所以－<，
即ω<12，令k＝0，得ω＝.
答案
12．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解 (1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.
(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1>1，
∴cos t>0，∴2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，
即12k－3
得0≤t<3或9
13．(选做题)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为
＝.
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s．