第2章-1 从位移、速度、力到向量学案

§1　从位移、速度、力到向量
内容要求　1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景.2.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．
知识点1　向量的概念
数学中，我们把既有大小，又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．
注意　①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．
②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．
【预习评价】
已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．
其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.
知识点2　向量的表示方法
(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A为起点，以B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.
(2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示向量的方向．
(3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用，，，…来表示．
【预习评价】
两个向量能比较大小吗？有向线段是向量吗？
提示　两个向量不能比较大小，因为向量既有大小也有方向．有向线段表示向量，但有向线段不是向量．
知识点3　与向量有关的概念
名称
定义
记法
零向量
长度为零的向量称为零向量
0
单位向量
长度为单位1的向量叫作单位向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量
向量a与b相等，记作a＝b
共线向量(平行向量)
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．规定零向量与任一向量平行
a与b平行或共线，记作a∥b
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的两个要素是大小与方向．(√)
(2)长度相等的向量是相等向量．(×)
(3)方向相同的向量是共线向量．(√)
题型一　向量的有关概念
【例1】　判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a≠b，则a一定不与b共线；
(2)若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
(3)在平行四边形ABCD中，一定有＝；
(4)若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
(5)若a＝b，b＝c，则a＝c；
解　两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故(1)不正确．(2)＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确．(3)在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，(3)正确．(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．(5)a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，(5)正确．
规律方法　对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．
【训练1】　下列说法正确的有________(填序号)．
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量；
④任何两个单位向量都是相等向量．
解析　①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
②错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．
③正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量．
④错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．
答案　③
题型二　向量的表示
【例2】　一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
(1)试作出向量，，；
(2)求||.
解　(1)建立如图所示的直角坐标系，向量，，即为所求．
(2)根据题意，向量与方向相反，故向量∥.
又||＝||，∴在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴||＝||＝400(海里)．
规律方法　1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆．
【训练2】　一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置向量．
解　(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴AD綊BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．
【例3】　如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示与，，相等的向量．
解　＝＝；＝＝；
＝＝＝.
【迁移1】　例3中与模相等的向量有多少？
解　由图知与的模相等的向量有23个．
【迁移2】　例3中与向量的长度相等方向相反的向量有哪些？
解　与向量长度相等方向相反的向量有，，，.
【迁移3】　例3中与向量共线的向量有哪些？
解　与向量共线的向量有，，，，，，，，.
规律方法　判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.
课堂达标
1．下列说法错误的是(　　)
A．若a＝0，则|a|＝0
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．
答案　B
2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)
A.＝ B．||＝||
C.> D.<
解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
答案　B
3．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．
解析　因为向量平行，且表示它们的有向线段有共同的起点，所以终点在一条直线上；而对于单位向量，其大小都是一个单位，所以它们的终点在起点的两侧，且距起点一个单位，所以终点构成的图形是两个点．
答案　一条直线　两个点
4．设O是正方形ABCD的中心，则，，，中，模相等的向量是________．
答案　与，与
5．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解　(1)＝＝，＝.(2)，，.
课堂小结
1．向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小．
2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．
3．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.
基础过关
1．下列条件中能得到a＝b的是(　　)
A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同
C．a＝0，b为任意向量 D．a＝0且b＝0
答案　D
2．下列说法正确的是(　　)
A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
答案　D
3.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A.与　　　　　　B.与
C.与　　　　　　D.与
解析　∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴＝.
答案　D
4．若对任意向量b，均有a∥b，则a为________．
答案　零向量
5．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．
解析　∵＝，∴AB綊DC
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
答案　菱形
6．在平面直角坐标系中，画出下列向量．
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为135°，与y轴正方向的夹角为135°.
解　
7.如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量；
解　(1)∵四边形ABDE和四边形ABCD都是平行四边形，
∴AB綊ED，AB綊DC，
∴＝，＝，∴＝.
故与向量相等的向量是，.
(2)由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.
能力提升
8．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；
③|a|＞0；④|b|＝±1，其中正确的是(　　)
A．①④ B．③
C．①②③ D．②③
解析　a为任一非零向量，故|a|＞0.
答案　B
9．下列命题中不正确的命题个数为(　　)
①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
②若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．
②不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．
③正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向．由两向量相等的条件可得a＝b.
④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．
答案　C
10．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号)．
解析　相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
答案　①③④
11．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
解析　易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2.
答案　2
12.如图，在四边形ABCD中，＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.求证：＝.
证明　∵＝，
∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，
∴＝.∵＝，四边形CNAM是平行四边形，
∴＝.
∵||＝||，||＝||，
∴||＝||.
∵DN∥MB且与的方向相同，
∴＝.
13.(选做题)如图，A，B，C三点的坐标依次是(－1，0)，(0,1)，(x，y)，其中x，y∈R.当x，y满足什么条件时，向量与共线(其中O为坐标原点)?
解　由点A、B的坐标分别是(－1,0)，(0,1)得∠BAO＝45°.
①当点C的坐标满足x＝y＝0时，点C与点O重合，则有|OC|＝0，即||＝0，所以＝0，这时与共线(零向量与任一向量都共线)；
②当点C的坐标满足xy≠0，且x＝y，即点C在第一、三象限角平分线上时，有AB∥OC，这时与共线．综上可知，当x＝y时，与共线．