第2章-2.1 向量的加法学案
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文档简介
§2 从位移的合成到向量的加法
2．1 向量的加法
内容要求 1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量(重点).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算(难点)．
知识点1 向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算．
(2)三角形法则：
①作图：已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b；
②几何意义：从第一个向量的起点到第二个向量终点的向量．
(3)平行四边形法则：
①作图：已知向量a，b，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量叫作a与b的和，表示为a＋b＝；
②几何意义：平行四边形对角线所在的向量．
【预习评价】
1．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．ABCD一定是矩形
B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形
D．ABCD一定是平行四边形
答案 D
2．在平行四边形ABCD中，＋＋＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
知识点2 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a.
【预习评价】
1．下列等式不成立的是( )
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C.＋＝2 D.＋＝
答案 C
2.＋＋等于________．
答案
题型一 向量加法法则的应用
【例1】 (1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
解 (1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b.
规律方法 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．
【训练1】 已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.
解 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c.
题型二 向量加法及其运算律
【例2】 化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
规律方法 向量加法运算律的应用原则及注意点
(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
(2)注意点：
①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；
②向量的和仍是向量；
③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．
【训练2】 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
答案 (1) (2) (3) (4)0
方向1 向量加法在平面几何中的应用
【例3－1】 已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明 ＝＋，＝＋，
又∵＝，＝，∴＝.
∴AB＝CD且AB∥DC.
∴四边形ABCD为平行四边形．
方向2 向量加法在物理中的应用
【例3－2】 在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
解 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，依题意作出平行四边形，如图．
在Rt△ABC中，||＝| v 1|＝2.
||＝|v2|＝2，
∴||＝|v|＝
＝＝4.
tan θ＝＝＝.
∴θ＝60°.
∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°.
方向3 向量加法在实际问题中的应用
【例3－3】 如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解 设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
规律方法 应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．
(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．
易错警示 利用向量解决实际问题时容易出现向量关系转化错误.
课堂达标
1．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )
A．30 N B．60 N
C．90 N D．120 N
答案 B
2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A.＋＋＝0
B.＋＋＝0
C.＋＋＝
D.＋＋＝
解析 ＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
故选D.
答案 D
3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．
解析 |＋＋|＝|2|＝2||＝2.
答案 2
4．在正六边形ABCDEF中，＋＋＋＋＋＝________.
解析 ＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋＋)＋(＋＋＋＋＋)＝0＋0＝0.
答案 0
5.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明 ∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，
∴＋＝＋，
即＋＝＋.
课堂小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
基础过关
1．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
解析 如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．
答案 A
2．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a
B.＋＋＝0
C.＋＝0
D.＋＝＋＋
解析 ＋＋＝＋＝2≠0，故B错．
答案 B
3．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
答案 A
4．根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________.
解析 (1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝.
答案 (1) (2)
5．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．
解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.
∴|a＋b|的最大值为8.
答案 8
6.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋.
解 (1)由题图知，四边形OABC为平行四边形，∴＋＝.
(2)由图知＝＝＝，
∴＋＝＋＝.
(3)∵＝，
∴＋＝＋＝0.
7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.
证明 ∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4.
∴＋＋＋＝4.
能力提升
8.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
解析 |＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案 B
9．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＝|a|－|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①② B．①③
C．①③⑤ D．③④⑤
解析 a＝0，∴a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|，故选C.
答案 C
10．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.
答案 0
11．已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，则在下列结论中，正确的有________．
①|＋|＝||；②|＋|＝||；
③|＋|＝||；④||2＋||2＝||2.
解析 如图，
以、为邻边作平行四边形ABCD，
由于∠BAC＝90°，则ABCD为矩形．
|＋|＝||＝||，故①正确．
|＋|＝||＝||，故②正确．
|＋|＝|－|＝||＝||.
故③正确．又||2＋||2＝||2，故④正确．
答案 ①②③④
12．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解 如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
13．(选做题)如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
证明 由题意知：＝＋，＝＋，＝＋.
由平面几何可知：＝，＝.
所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0.
2．1 向量的加法
内容要求 1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量(重点).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算(难点)．
知识点1 向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算．
(2)三角形法则：
①作图：已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b；
②几何意义：从第一个向量的起点到第二个向量终点的向量．
(3)平行四边形法则：
①作图：已知向量a，b，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量叫作a与b的和，表示为a＋b＝；
②几何意义：平行四边形对角线所在的向量．
【预习评价】
1．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．ABCD一定是矩形
B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形
D．ABCD一定是平行四边形
答案 D
2．在平行四边形ABCD中，＋＋＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
知识点2 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a.
【预习评价】
1．下列等式不成立的是( )
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C.＋＝2 D.＋＝
答案 C
2.＋＋等于________．
答案
题型一 向量加法法则的应用
【例1】 (1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
解 (1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b.
规律方法 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．
【训练1】 已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.
解 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c.
题型二 向量加法及其运算律
【例2】 化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
规律方法 向量加法运算律的应用原则及注意点
(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
(2)注意点：
①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；
②向量的和仍是向量；
③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．
【训练2】 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
答案 (1) (2) (3) (4)0
方向1 向量加法在平面几何中的应用
【例3－1】 已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明 ＝＋，＝＋，
又∵＝，＝，∴＝.
∴AB＝CD且AB∥DC.
∴四边形ABCD为平行四边形．
方向2 向量加法在物理中的应用
【例3－2】 在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
解 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，依题意作出平行四边形，如图．
在Rt△ABC中，||＝| v 1|＝2.
||＝|v2|＝2，
∴||＝|v|＝
＝＝4.
tan θ＝＝＝.
∴θ＝60°.
∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°.
方向3 向量加法在实际问题中的应用
【例3－3】 如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解 设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
规律方法 应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．
(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．
易错警示 利用向量解决实际问题时容易出现向量关系转化错误.
课堂达标
1．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )
A．30 N B．60 N
C．90 N D．120 N
答案 B
2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A.＋＋＝0
B.＋＋＝0
C.＋＋＝
D.＋＋＝
解析 ＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
故选D.
答案 D
3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．
解析 |＋＋|＝|2|＝2||＝2.
答案 2
4．在正六边形ABCDEF中，＋＋＋＋＋＝________.
解析 ＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋＋)＋(＋＋＋＋＋)＝0＋0＝0.
答案 0
5.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明 ∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，
∴＋＝＋，
即＋＝＋.
课堂小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
基础过关
1．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
解析 如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．
答案 A
2．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a
B.＋＋＝0
C.＋＝0
D.＋＝＋＋
解析 ＋＋＝＋＝2≠0，故B错．
答案 B
3．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
答案 A
4．根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________.
解析 (1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝.
答案 (1) (2)
5．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．
解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.
∴|a＋b|的最大值为8.
答案 8
6.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋.
解 (1)由题图知，四边形OABC为平行四边形，∴＋＝.
(2)由图知＝＝＝，
∴＋＝＋＝.
(3)∵＝，
∴＋＝＋＝0.
7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.
证明 ∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4.
∴＋＋＋＝4.
能力提升
8.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
解析 |＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案 B
9．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＝|a|－|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①② B．①③
C．①③⑤ D．③④⑤
解析 a＝0，∴a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|，故选C.
答案 C
10．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.
答案 0
11．已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，则在下列结论中，正确的有________．
①|＋|＝||；②|＋|＝||；
③|＋|＝||；④||2＋||2＝||2.
解析 如图，
以、为邻边作平行四边形ABCD，
由于∠BAC＝90°，则ABCD为矩形．
|＋|＝||＝||，故①正确．
|＋|＝||＝||，故②正确．
|＋|＝|－|＝||＝||.
故③正确．又||2＋||2＝||2，故④正确．
答案 ①②③④
12．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解 如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
13．(选做题)如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
证明 由题意知：＝＋，＝＋，＝＋.
由平面几何可知：＝，＝.
所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0.