第2章-2.2 向量的减法学案
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文档简介
2.2 向量的减法
内容要求 1.知道向量减法的定义，理解相反向量的意义(重点).2.掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量(难点)．
知识点1 相反向量
与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝.(×)
(2)a－a＝0.(√)
(3)零向量的相反向量仍是零向量．(√)
知识点2 向量的减法
(1)定义，向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．
(2)几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示．
(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
【预习评价】
1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
答案 A
2.可以写成①＋；②－；③－；④－.
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案 D
题型一 向量减法法则的应用
【例1】 如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.
解 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
规律方法 利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b.
【训练1】 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
题型二 向量减法的运算
【例2】 化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－)．
解 (1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
规律方法 化简向量的和差的方法
(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号．
(2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．
(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点．
特别提醒 利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．
【训练2】 化简：
(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
解 (1)(－)－(－)
＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
方向1 用已知向量表示未知向量
【例3－1】 已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
解 方法一 如图所示：
＝＋
＝a＋
＝a＋(－)
＝a＋c－b.
方法二 ＝＋＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋0
＝＋(＋)
＝a＋(－b＋c)
＝a－b＋c.
方向2 求向量的模
【例3－2】 已知非零向量a、b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
解 设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.
∵(＋1)2＋(－1)2＝42，
∴||2＋||2＝||2，∴OA⊥OB.
∴平行四边形OACB是矩形．
∵矩形的对角线相等，
∴||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
方向3 判断形状
【例3－3】 设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.试判断四边形ABCD的形状．
解 由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，
即－＝－，
∴＝，于是AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又|a－b|＝|a－d|，从而|－|＝|－|，
∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形．
规律方法 1.关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．
2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果.
课堂达标
1．化简－＋＋的结果等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
2．如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是( )
A．a＋b和a－b
B．a＋b和b－a
C．a－b和b－a
D．b－a和b＋a
解析 由向量的加法、减法得，＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.故选B.
答案 B
3．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析 ＝＝
＝＝2.
答案 2
4．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
解析 ∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
答案 13
5．如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
解 ＝＋＝＋＋
＝＋－
＝c＋b－a.
课堂小结
1．向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.
3．以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a.
基础过关
1．在平行四边形ABCD中，－等于( )
A. B.
C. D.
解析 －＝＝.
答案 A
2．下列等式中，正确的个数为( )
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，所以正确的个数为5.故选C.
答案 C
3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
解析 ∵＝，∴－＝0，A正确；
∵－＝＋＝，B正确；
∵－＝＋＝，C错误；
∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确．
答案 C
4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用、表示为________．
解析 ＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－.
答案 2－
5．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
解析 当a与b方向相反时，|a＋b|取得最小值，其值为12－8＝4；这时|a－b|取得最大值，其值为12＋8＝20.
答案 4 20
6．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
解 设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
7.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.
解 (1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，
使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，则＋＝，
而＝－＝a－b.
所以a－b＋c＝＋＝，且||＝2，
所以|a－b＋c|＝2.
能力提升
8.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析 ＋＋＝＋＋
＝(＋＋)＝0.
答案 A
9．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有( )
A.＝0 B.＝0或＝0
C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形
解析 ＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，
∴ABCD是矩形．
答案 C
10．边长为1的正△ABC中，|－|的值为________．
解析 如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，易求AD＝，
∴|－|＝.
答案
11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
解 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
利用平行四边形法则，得＝a＋b，＝a－b.
由题意知：||＝||＝2，||＝1.
如图所示，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F.
∵AB＝BD＝2，
∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝，在△CBF中，∠CBF＝∠DAB，
∴cos∠CBF＝，BF＝BC·cos∠CBF＝1×＝，
∴CF＝，∴AF＝AB＋BF＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝＝，∴|a＋b|＝.
12．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
解 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同样，由向量的减法知＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
13．(选做题)如图，O是△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
证明 作圆的直径BD，
连接DA、DC，则＝－，AD⊥AB，DC⊥BC，连接AH、CH，因为H是△ABC的垂心，故有AH⊥BC，CH⊥AB.
∴CH∥AD，AH∥CD，则四边形AHCD为平行四边形．
∴＝＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＋.
内容要求 1.知道向量减法的定义，理解相反向量的意义(重点).2.掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量(难点)．
知识点1 相反向量
与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝.(×)
(2)a－a＝0.(√)
(3)零向量的相反向量仍是零向量．(√)
知识点2 向量的减法
(1)定义，向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．
(2)几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示．
(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
【预习评价】
1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
答案 A
2.可以写成①＋；②－；③－；④－.
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案 D
题型一 向量减法法则的应用
【例1】 如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.
解 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
规律方法 利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b.
【训练1】 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
题型二 向量减法的运算
【例2】 化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－)．
解 (1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
规律方法 化简向量的和差的方法
(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号．
(2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．
(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点．
特别提醒 利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．
【训练2】 化简：
(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
解 (1)(－)－(－)
＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
方向1 用已知向量表示未知向量
【例3－1】 已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
解 方法一 如图所示：
＝＋
＝a＋
＝a＋(－)
＝a＋c－b.
方法二 ＝＋＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋0
＝＋(＋)
＝a＋(－b＋c)
＝a－b＋c.
方向2 求向量的模
【例3－2】 已知非零向量a、b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
解 设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.
∵(＋1)2＋(－1)2＝42，
∴||2＋||2＝||2，∴OA⊥OB.
∴平行四边形OACB是矩形．
∵矩形的对角线相等，
∴||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
方向3 判断形状
【例3－3】 设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.试判断四边形ABCD的形状．
解 由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，
即－＝－，
∴＝，于是AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又|a－b|＝|a－d|，从而|－|＝|－|，
∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形．
规律方法 1.关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．
2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果.
课堂达标
1．化简－＋＋的结果等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
2．如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是( )
A．a＋b和a－b
B．a＋b和b－a
C．a－b和b－a
D．b－a和b＋a
解析 由向量的加法、减法得，＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.故选B.
答案 B
3．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析 ＝＝
＝＝2.
答案 2
4．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
解析 ∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
答案 13
5．如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
解 ＝＋＝＋＋
＝＋－
＝c＋b－a.
课堂小结
1．向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.
3．以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a.
基础过关
1．在平行四边形ABCD中，－等于( )
A. B.
C. D.
解析 －＝＝.
答案 A
2．下列等式中，正确的个数为( )
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，所以正确的个数为5.故选C.
答案 C
3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
解析 ∵＝，∴－＝0，A正确；
∵－＝＋＝，B正确；
∵－＝＋＝，C错误；
∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确．
答案 C
4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用、表示为________．
解析 ＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－.
答案 2－
5．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
解析 当a与b方向相反时，|a＋b|取得最小值，其值为12－8＝4；这时|a－b|取得最大值，其值为12＋8＝20.
答案 4 20
6．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
解 设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
7.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.
解 (1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，
使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，则＋＝，
而＝－＝a－b.
所以a－b＋c＝＋＝，且||＝2，
所以|a－b＋c|＝2.
能力提升
8.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析 ＋＋＝＋＋
＝(＋＋)＝0.
答案 A
9．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有( )
A.＝0 B.＝0或＝0
C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形
解析 ＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，
∴ABCD是矩形．
答案 C
10．边长为1的正△ABC中，|－|的值为________．
解析 如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，易求AD＝，
∴|－|＝.
答案
11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
解 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
利用平行四边形法则，得＝a＋b，＝a－b.
由题意知：||＝||＝2，||＝1.
如图所示，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F.
∵AB＝BD＝2，
∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝，在△CBF中，∠CBF＝∠DAB，
∴cos∠CBF＝，BF＝BC·cos∠CBF＝1×＝，
∴CF＝，∴AF＝AB＋BF＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝＝，∴|a＋b|＝.
12．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
解 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同样，由向量的减法知＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
13．(选做题)如图，O是△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
证明 作圆的直径BD，
连接DA、DC，则＝－，AD⊥AB，DC⊥BC，连接AH、CH，因为H是△ABC的垂心，故有AH⊥BC，CH⊥AB.
∴CH∥AD，AH∥CD，则四边形AHCD为平行四边形．
∴＝＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＋.