第2章-3.1 数乘向量学案
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文档简介
§3 从速度的倍数到数乘向量
3．1 数乘向量
内容要求 1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．
知识点1 数乘向量的概念与运算律
(1)数乘向量：
①定义：λa是一个向量；
②长度：λ|a|；
③方向：
(2)数乘向量的运算律：
①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；
③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若λa＝0则λ＝0.(×)
(2)若a、b是非零向量，λ，μ∈R.那么λa＋μb＝0?λ＝μ＝0.(√)
(3)0·＝0.(×)
知识点2 向量共线的判定定理与性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
【预习评价】
1．若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
提示 不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线．
2．如果向量a，b共线，一定有b＝λa(λ∈R)吗？
提示 不一定．当a＝0，b≠0时，λ不存在.
题型一 向量数乘的定义
【例1】 已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3α模的倍；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．
解 (1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，
且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.
(2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，
又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的倍．
(3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量．
(4)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．
规律方法 对数乘向量的四点说明
(1)λa的实数λ叫作向量a的系数．
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.
(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．
【训练1】 已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有( )
①λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；
③λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
④λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故③④也正确．
答案 D
题型二 向量的线性运算
【例2】 计算下列各式：
(1)4(a＋b)－3(a－b)；
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
解 (1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)
＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c
＝a－7b＋6c.
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)
＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋b
＝0a＋0b＝0＋0＝0.
规律方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【训练2】 若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为( )
A．－a B．－4b
C．c D．a－b
解析 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.
答案 A
方向1 证明向量共线
【例3－1】 已知两个非零向量a与b不共线，如果＝a＋b，＝2a＋8b，＝2a－4b，求证：A、B、D三点共线．
证明 因为＝＋
＝(2a＋8b)＋(2a－4b)＝4a＋4b
＝4(a＋b)＝4，
所以根据平行向量基本定理，与共线．
又因为与有公共点B，所以A、B、D三点共线．
方向2 利用向量共线求参数值
【例3－2】 若a、b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，则实数t为何值时，a、tb、(a＋b)三向量的终点在同一直线上？
解 由题设易知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ，化简，得a＝b.
∵a与b不共线，
∴解得
故当t＝时，三向量的终点共线．
方向3 共线向量在平面几何中的应用
【例3－3】 如图所示，已知D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且|DE|＝|BC|.
证明 ＝－，＝－.
∵D，E分别为边AB，AC的中点，
∴＝，＝，
∴＝(－)＝，
∴DE∥BC，且|DE|＝|BC|.
规律方法 应用向量共线定理时的注意点
(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
课堂达标
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a B．a＋3b
C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y)
解析 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
答案 C
2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B、C、D B．A、B、C
C．A、B、D D．A、C、D
解析 ∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A、B、D三点共线．
答案 C
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.
答案 2
4．若＝2，＝λ，则λ＝________.
解析 ∵＝＋＝2＋＝3，∴λ＝－3.
答案 －3
5．如图所示，已知＝，用，表示.
解 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
课堂小结
1．实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模长有关．
2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.
基础过关
1．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
解析 显然b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
答案 D
2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
答案 B
3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
解析 如图，＋
＝＋＋＋
＝＋＝(＋)
＝·2＝.
答案 C
4．已知向量a＝e1＋3e2，b＝－e1－e2，则a与b的关系是________．
解析 ∵a＝－2b，∴a∥b.
答案 a∥b
5．若2－(c＋b－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________.
解析 据向量的加法、减法整理、运算可得x＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
6.如图，已知任意两个非零向量a，b，作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由．
解 分别作向量、、，过点A、C作直线AC(如图)．
观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．
因为＝－
＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，
＝－
＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，
故有＝2.
因为∥，且有公共点A，
所以A、B、C三点共线．
7．已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：＝(＋)．
证明 取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．
∵E为AD的中点，
∴＝.
∵F是BC的中点，∴＝(＋)．
又∵＝＋，
∴＝(＋＋)＝(＋)＋.
∴＝－＝(＋)＋－
＝(＋)．
能力提升
8．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A. B．－
C．－ D.
解析 ∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.
答案 C
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 ∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，
∴DF＝AB，∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.
答案 D
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
答案
11．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.
解析 ∵＝a＋b，＝a－2b，
∴＝＋＝2a－b.
又∵A，B，D三点共线，∴，共线．
设＝λ，
∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
答案 －1
12.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线.
证明 设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，又∵与的公共点为C，
∴C、M、N三点共线．
13．(选做题)过△ABC的重心G任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若＝x，＝y，且xy≠0，试求＋的值．
解 如图，设＝a，＝b，则＝＝＝(a＋b)．∴＝－＝a－b，
＝－＝xa－yb.
∵与共线，∴＝λ，
∴a－b＝xλa－yλb，
∴消去λ得＝，
即＋＝3.
3．1 数乘向量
内容要求 1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．
知识点1 数乘向量的概念与运算律
(1)数乘向量：
①定义：λa是一个向量；
②长度：λ|a|；
③方向：
(2)数乘向量的运算律：
①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；
③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若λa＝0则λ＝0.(×)
(2)若a、b是非零向量，λ，μ∈R.那么λa＋μb＝0?λ＝μ＝0.(√)
(3)0·＝0.(×)
知识点2 向量共线的判定定理与性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
【预习评价】
1．若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
提示 不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线．
2．如果向量a，b共线，一定有b＝λa(λ∈R)吗？
提示 不一定．当a＝0，b≠0时，λ不存在.
题型一 向量数乘的定义
【例1】 已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3α模的倍；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．
解 (1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，
且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.
(2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，
又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的倍．
(3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量．
(4)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．
规律方法 对数乘向量的四点说明
(1)λa的实数λ叫作向量a的系数．
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.
(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．
【训练1】 已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有( )
①λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；
③λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
④λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故③④也正确．
答案 D
题型二 向量的线性运算
【例2】 计算下列各式：
(1)4(a＋b)－3(a－b)；
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
解 (1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)
＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c
＝a－7b＋6c.
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)
＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋b
＝0a＋0b＝0＋0＝0.
规律方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【训练2】 若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为( )
A．－a B．－4b
C．c D．a－b
解析 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.
答案 A
方向1 证明向量共线
【例3－1】 已知两个非零向量a与b不共线，如果＝a＋b，＝2a＋8b，＝2a－4b，求证：A、B、D三点共线．
证明 因为＝＋
＝(2a＋8b)＋(2a－4b)＝4a＋4b
＝4(a＋b)＝4，
所以根据平行向量基本定理，与共线．
又因为与有公共点B，所以A、B、D三点共线．
方向2 利用向量共线求参数值
【例3－2】 若a、b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，则实数t为何值时，a、tb、(a＋b)三向量的终点在同一直线上？
解 由题设易知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ，化简，得a＝b.
∵a与b不共线，
∴解得
故当t＝时，三向量的终点共线．
方向3 共线向量在平面几何中的应用
【例3－3】 如图所示，已知D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且|DE|＝|BC|.
证明 ＝－，＝－.
∵D，E分别为边AB，AC的中点，
∴＝，＝，
∴＝(－)＝，
∴DE∥BC，且|DE|＝|BC|.
规律方法 应用向量共线定理时的注意点
(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
课堂达标
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a B．a＋3b
C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y)
解析 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
答案 C
2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B、C、D B．A、B、C
C．A、B、D D．A、C、D
解析 ∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A、B、D三点共线．
答案 C
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.
答案 2
4．若＝2，＝λ，则λ＝________.
解析 ∵＝＋＝2＋＝3，∴λ＝－3.
答案 －3
5．如图所示，已知＝，用，表示.
解 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
课堂小结
1．实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模长有关．
2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.
基础过关
1．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
解析 显然b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
答案 D
2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
答案 B
3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
解析 如图，＋
＝＋＋＋
＝＋＝(＋)
＝·2＝.
答案 C
4．已知向量a＝e1＋3e2，b＝－e1－e2，则a与b的关系是________．
解析 ∵a＝－2b，∴a∥b.
答案 a∥b
5．若2－(c＋b－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________.
解析 据向量的加法、减法整理、运算可得x＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
6.如图，已知任意两个非零向量a，b，作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由．
解 分别作向量、、，过点A、C作直线AC(如图)．
观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．
因为＝－
＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，
＝－
＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，
故有＝2.
因为∥，且有公共点A，
所以A、B、C三点共线．
7．已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：＝(＋)．
证明 取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．
∵E为AD的中点，
∴＝.
∵F是BC的中点，∴＝(＋)．
又∵＝＋，
∴＝(＋＋)＝(＋)＋.
∴＝－＝(＋)＋－
＝(＋)．
能力提升
8．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A. B．－
C．－ D.
解析 ∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.
答案 C
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 ∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，
∴DF＝AB，∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.
答案 D
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
答案
11．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.
解析 ∵＝a＋b，＝a－2b，
∴＝＋＝2a－b.
又∵A，B，D三点共线，∴，共线．
设＝λ，
∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
答案 －1
12.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线.
证明 设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，又∵与的公共点为C，
∴C、M、N三点共线．
13．(选做题)过△ABC的重心G任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若＝x，＝y，且xy≠0，试求＋的值．
解 如图，设＝a，＝b，则＝＝＝(a＋b)．∴＝－＝a－b，
＝－＝xa－yb.
∵与共线，∴＝λ，
∴a－b＝xλa－yλb，
∴消去λ得＝，
即＋＝3.