第2章-3.2 平面向量基本定理学案

3.2　平面向量基本定理
内容要求　1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．
知识点1　平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
【预习评价】
(1)0能不能作为基底？
提示　由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底．
(2)平面向量的基底唯一吗？
提示　不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．
题型一　对向量基底的理解
【例1】　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
解析　由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
答案　②③
规律方法　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
【训练1】　设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析　由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得
所以
答案　　－
【例2】　设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
解析　由题得＝＋＝＋
＝＋－＝－＋.故选A.
答案　A
【迁移1】　在例题中将“＝3”改为“＝”试用、表示.
解　＝＋＝＋
＝＋－＝2－.
【迁移2】　在例题中将“＝3”改为“＝－3”试用，表示向量.
解　由题＝＋＝＋
＝－
＝－＋
＝＋.
规律方法　应用平面向量基本定理时的关注点
(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系．
(2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等．
(3)一个重要结论：设a、b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则有
题型三　平面向量基本定理的应用
【例3】　如图，△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c.
(1)用a，c表示向量；
(2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF.
解　(1)∵＝－＝c－a，
∴＝＝(c－a)，
∴＝(＋)
＝＋
＝－a＋(c－a)
＝c－a.
(2)设＝λ，
∴＝＋＝＋λ
＝a＋λ(c－a)
＝(1－λ)a＋λc.
又＝a＋c，
∴λ＝，
∴＝，
∴AF∶CF＝4∶1.
【训练2】　设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
(1)证明　设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得
即
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)解　设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴即
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴即
故所求λ、μ的值分别为3和1.
课堂达标
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
解析　B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
答案　B
2.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于(　　)
A．a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案　B
3．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析　设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，
又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
答案　
4．已知G为△ABC的重心，设＝a，＝b.则用a、b表示向量＝________.
解析　如图，连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，
＝＝(＋)
＝＝＋
＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案　a＋b
5．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
解　如图，＝－
＝－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
同理可得＝a－b.
＝－＝－(＋)＝a＋b.
课堂小结
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
基础过关
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析　由基底的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基底．
答案　B
2．如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
解析　＝＝(－)＝(5e1＋3e2)．
答案　A
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
解析　＝＋＋＝－8a－2b＝2 ，故为梯形．
答案　D
4．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________(填共线或不共线)．
解析　若a与e1共线，则存在实数λ使a＝λe1＝λ1e1＋λ2e2，则e1与e2共线，这与e1，e2不共线矛盾．
答案　不共线　不共线
5．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为____________________．
解析　若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，
由a≠kb得λ≠4.
答案　(－∞，4)∪(4，＋∞)
6.如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.
解　＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b.
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)已知c＝3e1＋4e2，以a，b为基底，表示向量c.
(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解　(1)设c＝λa＋μb，
则3e1＋4e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，
所以解得
所以c＝a＋2b.
(4)4e1－3e2＝λa＋μb
＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，
所以解得λ＝3，μ＝1.
能力提升
8．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　)
A．3 B．4
C．－ D．－
解析　因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，
所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，
又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，
所以解得故选B.
答案　B
9．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)
＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
答案　C
10．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋4＝，则△PBC与△PAB的面积比为________．
解析　＋＋4＝＝A＋，所以4＝2，即P在AC边上，且AP＝2PC，所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.
答案　1∶2
11．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析　易知＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.
答案　
12.如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，以a、b为基底表示.
解　∵＝＋，＝＋，设＝m，
＝n，则＝＋m＝a＋m＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝(1－n)b＋na.
∵a与b不共线，
∴?n＝，m＝，
∴＝a＋b.
13．(选做题)如图，在△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD于G，求及的值．
解　设＝λ，＝μ.
∵＝，即－＝－，
∴＝(＋)．
又∵＝λ＝λ(－)，
∴＝＝＋.
又∵＝μ，即－＝μ(－)，
∴(1＋μ)＝＋μ，＝＋.
又＝，∴＝＋.
∵，不共线，
∴解得
∴＝4，＝.