第2章-4 平面向量的坐标学案
图片预览
文档简介
§4 平面向量的坐标
内容要求 1.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，并能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来解决一些平面向量的计算(重点).2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关计算(难点)．
知识点1 平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得＝xi＋yj，因此a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量的坐标，记作a＝(x，y)．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
【预习评价】
1．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相等向量的坐标相同；(√)
(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；(√)
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量；(×)
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．(√)
2．相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？
提示 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．
知识点2 平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(4)已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
【预习评价】
(1)若A(2，－1)，B(－1,3)，则的坐标是( )
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－3,4) D．(3，－4)
(2)若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a－b的坐标为( )
A．(1,5) B．(1,1)
C．(3,1) D．(3,5)
答案 (1)C (2)C
知识点3 向量平行的坐标表示
设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0.
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有＝.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
【预习评价】
1．平面向量a＝(1，－2)，b＝(－2，x)，若a∥b，则x＝________.
答案 4
2．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________．
解析 ∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3，当λ＝－3时，b＝(－1，－3)，a＝－2b，∴a∥b成立．
答案 －3
题型一 平面向量的坐标表示
【例1】 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
解 如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D(，)，
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝(－2，－0)＝(－，)．
规律方法 (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
【训练1】 若已知A(1,2)，B(0，－1)，C(3，k)．
(1)求；
(2)若已知－＝(m，－2)，试求k、m.
解 (1)∵A(1,2)，B(0，－1)，
∴＝(－1，－3)．
(2)∵－＝(－1，－3)－(3，k＋1)
＝.
由已知＝(m，－2)，
∴m＝－，k＝－.
题型二 平面向量坐标的线性运算
【例2】 已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ(λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在函数y＝x的图像上？
(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．
解 设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
∵＝＋λ
＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)
＝(3,1)＋λ(5,7)
＝(3＋5λ，1＋7λ)，
∴
∴
∴点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，可得λ＝，
∴当λ＝时，点P在函数y＝x的图像上．
(2)∵点P在第三象限，
∴解得λ＜－1.
∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．
规律方法 1.向量的坐标表示法，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
2．如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等．
【训练2】 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试问：
(1)当t为何值时，P在x轴上、P在y轴上、P在第三象限？
(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，说明理由．
解 (1)由＝＋t
＝(1＋3t,2＋3t)，则P(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；
若P在第三象限，则
所以t＜－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，若OABP是平行四边形，则＝，
所以此方程组无解．
故四边形OABP不可能是平行四边形．
方向1 向量共线的判定
【例3－1】 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解 ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，
且(－2)×4<0，∴与共线且方向相反．
方法二 ∵＝－2，
∴与共线且方向相反．
方向2 利用向量共线求参数
【例3－2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 方法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)，
即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴
解得k＝λ＝－.
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－(a－3b)＝－a＋b.
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．
方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)．
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
方向3 向量共线的综合应用
【例3－3】 如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．
解 方法一 由题意知P，B，O三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)，
＝－＝(－2,6)，
由与共线，
得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，
∴＝＝(3,3)，
∴P(3,3)即为所求．
方法二 设P(x，y)，则＝(x，y)，
且＝(4,4)，又与共线，∴x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，与共线，
则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解得x＝y＝3，即P点坐标为(3,3)．
规律方法 1.由向量共线求参数的值的方法：
2．a∥b的充要条件有两种表达方式：
(1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)；
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制.
课堂达标
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析 a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(－1,2)．
答案 D
2．已知向量a＝(1,1)，b＝(x2，x＋2)，若a，b共线，则实数x的值为( )
A．－1 B．2
C．1或－2 D．－1或2
解析 由题意知，1·(x＋2)－x2·1＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.
答案 D
3．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.
解析 由解得
答案 7
4．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，如果A、B、C三点共线，则实数k＝________.
解析 ∵＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，
∴＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
∵A、B、C三点共线，
∴(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
解得k＝－2或k＝11.
答案 －2或11
5．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，求点C的坐标．
解 设点C(x，y)．∵A、B、C三点共线，
∴＝λ＝λ(2,4)＝(2λ，4λ)．
∴(x＋1，y＋3)＝(2λ，4λ)，
∴∴C(2λ－1,4λ－3)．
把点C(2λ－1,4λ－3)代入x＋y－5＝0得
(2λ－1)＋(4λ－3)－5＝0，解得λ＝.
∴C(2,3)．
课堂小结
1．在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标形式相同，但意义不同．它们之间的对应关系：
有序实数对(x，y)向量点A(x，y)．
2．通过平面向量的坐标表示和运算，应着重体会用向量处理问题的两种方法：向量法和坐标法．体会数形结合思想的指导作用，体会向量在解决问题中的工具性作用．
3．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例.
基础过关
1．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(－2,2) D．(2，－2)
答案 D
2．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于( )
A．2 B.
C．－2 D．－
解析 ∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.
∴tan α＝2.故选A.
答案 A
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为
( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
解析 由解得
答案 D
4．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．
解析 ∵＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与同方向的单位向量为＝.
答案
5．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为________．
解析 ＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，
∵P、A、B三点共线，∴与共线．
∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3.
答案 3
6．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，c＝(1,2)，求p＝2a＋3b＋c，并用基底a、b表示p.
解 p＝2a＋3b＋c
＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2)
＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．
设p＝xa＋yb，则有
解得
∴p＝a＋b.
7．已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线．
证明 ∵＝－＝(4,8)，
＝－＝(6,12)，
∴＝，即与共线．
又∵与有公共点A，
∴A，B，C三点共线．
能力提升
8．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
解析 令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)．
∴解得
故M与N只有一个公共元素(－2，－2)．
答案 C
9．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
解析 设C点坐标(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.
答案 C
10．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是________．
解析 由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)．
设C(x，y)，则＝(x，y)．
因为＝λ＋μ，
所以(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以又因为∠AOC＝，OC＝2，
所以λ＝x＝2cos＝，μ＝y＝2sin＝1，
所以λ＋μ＝＋1.
答案 ＋1
11．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)?m＝(5,0)，则(1,2)⊕m等于________．
解析 由(1,2)?m＝(5,0)，
可得解得
所以(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．
答案 (2,0)
12．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解 (1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴∴
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴M.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，
∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
13．(选做题)已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；
(3)对任意向量a，b及常数λ，μ，证明f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．
(1)解 由条件可得u(x，y)v(y,2y－x)，则f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)解 设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)．
∴解得即c＝(3,4)．
(3)证明 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，
∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)，
又λf(a)＝λ(y1,2y－x1)＝(λy1,2λy1－λx1)，
μf(b)＝μ(y2,2y2－x2)＝(μy2,2μy2－μx2)．
∴λf(a)＋μf(b)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)．
∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．
内容要求 1.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，并能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来解决一些平面向量的计算(重点).2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关计算(难点)．
知识点1 平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得＝xi＋yj，因此a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量的坐标，记作a＝(x，y)．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
【预习评价】
1．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相等向量的坐标相同；(√)
(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；(√)
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量；(×)
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．(√)
2．相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？
提示 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．
知识点2 平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(4)已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
【预习评价】
(1)若A(2，－1)，B(－1,3)，则的坐标是( )
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－3,4) D．(3，－4)
(2)若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a－b的坐标为( )
A．(1,5) B．(1,1)
C．(3,1) D．(3,5)
答案 (1)C (2)C
知识点3 向量平行的坐标表示
设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0.
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有＝.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
【预习评价】
1．平面向量a＝(1，－2)，b＝(－2，x)，若a∥b，则x＝________.
答案 4
2．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________．
解析 ∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3，当λ＝－3时，b＝(－1，－3)，a＝－2b，∴a∥b成立．
答案 －3
题型一 平面向量的坐标表示
【例1】 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
解 如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D(，)，
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝(－2，－0)＝(－，)．
规律方法 (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
【训练1】 若已知A(1,2)，B(0，－1)，C(3，k)．
(1)求；
(2)若已知－＝(m，－2)，试求k、m.
解 (1)∵A(1,2)，B(0，－1)，
∴＝(－1，－3)．
(2)∵－＝(－1，－3)－(3，k＋1)
＝.
由已知＝(m，－2)，
∴m＝－，k＝－.
题型二 平面向量坐标的线性运算
【例2】 已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ(λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在函数y＝x的图像上？
(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．
解 设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
∵＝＋λ
＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)
＝(3,1)＋λ(5,7)
＝(3＋5λ，1＋7λ)，
∴
∴
∴点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，可得λ＝，
∴当λ＝时，点P在函数y＝x的图像上．
(2)∵点P在第三象限，
∴解得λ＜－1.
∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．
规律方法 1.向量的坐标表示法，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
2．如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等．
【训练2】 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试问：
(1)当t为何值时，P在x轴上、P在y轴上、P在第三象限？
(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，说明理由．
解 (1)由＝＋t
＝(1＋3t,2＋3t)，则P(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；
若P在第三象限，则
所以t＜－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，若OABP是平行四边形，则＝，
所以此方程组无解．
故四边形OABP不可能是平行四边形．
方向1 向量共线的判定
【例3－1】 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解 ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，
且(－2)×4<0，∴与共线且方向相反．
方法二 ∵＝－2，
∴与共线且方向相反．
方向2 利用向量共线求参数
【例3－2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 方法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)，
即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴
解得k＝λ＝－.
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－(a－3b)＝－a＋b.
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．
方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)．
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
方向3 向量共线的综合应用
【例3－3】 如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．
解 方法一 由题意知P，B，O三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)，
＝－＝(－2,6)，
由与共线，
得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，
∴＝＝(3,3)，
∴P(3,3)即为所求．
方法二 设P(x，y)，则＝(x，y)，
且＝(4,4)，又与共线，∴x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，与共线，
则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解得x＝y＝3，即P点坐标为(3,3)．
规律方法 1.由向量共线求参数的值的方法：
2．a∥b的充要条件有两种表达方式：
(1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)；
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制.
课堂达标
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析 a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(－1,2)．
答案 D
2．已知向量a＝(1,1)，b＝(x2，x＋2)，若a，b共线，则实数x的值为( )
A．－1 B．2
C．1或－2 D．－1或2
解析 由题意知，1·(x＋2)－x2·1＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.
答案 D
3．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.
解析 由解得
答案 7
4．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，如果A、B、C三点共线，则实数k＝________.
解析 ∵＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，
∴＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
∵A、B、C三点共线，
∴(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
解得k＝－2或k＝11.
答案 －2或11
5．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，求点C的坐标．
解 设点C(x，y)．∵A、B、C三点共线，
∴＝λ＝λ(2,4)＝(2λ，4λ)．
∴(x＋1，y＋3)＝(2λ，4λ)，
∴∴C(2λ－1,4λ－3)．
把点C(2λ－1,4λ－3)代入x＋y－5＝0得
(2λ－1)＋(4λ－3)－5＝0，解得λ＝.
∴C(2,3)．
课堂小结
1．在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标形式相同，但意义不同．它们之间的对应关系：
有序实数对(x，y)向量点A(x，y)．
2．通过平面向量的坐标表示和运算，应着重体会用向量处理问题的两种方法：向量法和坐标法．体会数形结合思想的指导作用，体会向量在解决问题中的工具性作用．
3．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例.
基础过关
1．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(－2,2) D．(2，－2)
答案 D
2．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于( )
A．2 B.
C．－2 D．－
解析 ∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.
∴tan α＝2.故选A.
答案 A
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为
( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
解析 由解得
答案 D
4．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．
解析 ∵＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与同方向的单位向量为＝.
答案
5．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为________．
解析 ＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，
∵P、A、B三点共线，∴与共线．
∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3.
答案 3
6．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，c＝(1,2)，求p＝2a＋3b＋c，并用基底a、b表示p.
解 p＝2a＋3b＋c
＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2)
＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．
设p＝xa＋yb，则有
解得
∴p＝a＋b.
7．已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线．
证明 ∵＝－＝(4,8)，
＝－＝(6,12)，
∴＝，即与共线．
又∵与有公共点A，
∴A，B，C三点共线．
能力提升
8．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
解析 令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)．
∴解得
故M与N只有一个公共元素(－2，－2)．
答案 C
9．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
解析 设C点坐标(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.
答案 C
10．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是________．
解析 由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)．
设C(x，y)，则＝(x，y)．
因为＝λ＋μ，
所以(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以又因为∠AOC＝，OC＝2，
所以λ＝x＝2cos＝，μ＝y＝2sin＝1，
所以λ＋μ＝＋1.
答案 ＋1
11．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)?m＝(5,0)，则(1,2)⊕m等于________．
解析 由(1,2)?m＝(5,0)，
可得解得
所以(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．
答案 (2,0)
12．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解 (1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴∴
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴M.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，
∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
13．(选做题)已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；
(3)对任意向量a，b及常数λ，μ，证明f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．
(1)解 由条件可得u(x，y)v(y,2y－x)，则f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)解 设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)．
∴解得即c＝(3,4)．
(3)证明 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，
∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)，
又λf(a)＝λ(y1,2y－x1)＝(λy1,2λy1－λx1)，
μf(b)＝μ(y2,2y2－x2)＝(μy2,2μy2－μx2)．
∴λf(a)＋μf(b)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)．
∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．