第2章-5 从力做的功到向量的数量积学案

§5　从力做的功到向量的数量积
内容要求　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)．
知识点1　向量的夹角与投影
(1)夹角：
①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角；
②范围：0°≤θ≤180°；
③大小与向量共线、垂直的关系；
θ＝
(2)投影：
①定义：如图所示：＝a，＝b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称投影)．
②大小与夹角的关系：
夹角
0°
锐角
90°
钝角
180°
射影
|b|
正值
0
负值
－|b|
【预习评价】
等边△ABC中，与的夹角是多少？与，与的夹角又分别是多少？
提示　与的夹角就是△ABC的一个内角(∠ABC)，因此与的夹角是.
与首尾相接，由∠BAC＝知它的补角为π，因此与的夹角是π.
与有共同的终点C，若延长AC，BC，则可知所得的角的大小与∠ACB的大小相等，均是，因此与的夹角是.
知识点2　向量的数量积
(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影|a|cos θ的乘积．
(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s.
(4)性质：
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ；
②a⊥b?a·b＝0(其中a，b为非零向量)；
③|a|＝；
④cos θ＝(|a||b|≠0)；
⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.
(5)运算律：
交换律：a·b＝b·a.
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【预习评价】
1．已知三角形ABC中，·＜0，则三角形ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
解析　∵·＝||·||·cos B＜0，
∴cos B＜0，又∵B为△ABC的内角．
∴＜B＜π.
答案　A
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
解析　|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a＋2b|＝＝2.
答案　2
题型一　数量积的基本概念
【例1】　下列判断：
①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b|0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．
其中正确的是________（填序号）．
解析　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以③错；
对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；
对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错；
对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；
对于⑦，当a与b的夹角为0°时，
也有a·b>0，因此⑦错；
对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故⑧错．
综上可知①②⑥正确．
答案　①②⑥
规律方法　对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．
【训练1】　给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．
解析　因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
答案　④
题型二　数量积的运算
【例2】　已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．
解　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27.
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9.
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°.
∴a·b＝0，a·(a＋b)＝a2＝9.
③当a与b的夹角是60°时，
有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9.
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝18.
规律方法　(1)向量的数量积在表示时，a与b之间必须用实心圆点“·”来连接而不能用“×”连接，也不能省略．
(2)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．②分别求|b|和|a|.③求它们的数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.
【训练2】　已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(a＋b)·(a＋b)；
(4)(a－2b)·(3a＋b)．
解　(1)a·b＝|a|·|b|·cos θ＝3×4×cos 120°＝－6.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝－7.
(3)(a＋b)·(a＋b)＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a|·|b|·cos θ＋|b|2＝13.
(4)(a－2b)·(3a＋b)＝3a2－5a·b－2b2＝25.
方向1　求向量的模
【例3－1】　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；(3)|(a＋b)·(a－2b)|.
解　由已知a·b＝|a||b|cos θ
＝4×2×cos 120°＝－4，
a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12.
∴|a＋b|＝2.
(2)∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2
＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(3)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2
＝16－(－4)－2×4＝12，
∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
方向2　求向量的夹角
【例3－2】　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故a与b的夹角为120°.
方向3　数量积的综合应用
【例3－3】　设两个向量e1，e满足|e1＝2，|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
解　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cos θ＝＜0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0.
化简，得2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－.
当夹角θ为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，
则∴故实数t的取值范围是∪.
规律方法　1.求向量夹角时要注意：
(1)当已知a·b是非坐标形式时，需求得a·b及|a|，|b|或它们之间的关系；
(2)当已知a，b的坐标时，可直接利用公式求解．
(3)注意夹角的范围θ∈[0，π]．
2．对于a2＝|a|2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路.
课堂达标
1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(　　)
A．|a|＝ B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b|
解析　因为|a·b|＝||a|·|b|cos θ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a|·|b|·|cos θ|，
当且仅当θ＝0或π 时，使|a·b|＝|a|·|b|，故B错．
答案　B
2．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是(　　)
A．60° B．30°
C．135° D．45°
解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
设a与b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝－.
又∵ θ∈[0°，180°]，
∴ θ＝135°.
答案　C
3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.
解析　a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝.
答案　
4．已知向量a在向量b方向上的射影是，|b|＝3，则a·b的值为________．
解析　a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝|b||a|cos〈a，b〉
＝3×＝2.
答案　2
5．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
解　要想(ka－b)⊥(a＋2b)，
则需(ka－b)·(a＋2b)＝0，
即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，
∴52k＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，
解得k＝，即当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．
课堂小结
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．向量数量积的性质及作用：
设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.
(1)a⊥b?a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|.此性质可用来证明向量共线．
(3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(4)cos θ＝，此性质可求a与b的夹角.
基础过关
1．下面给出的关系式中正确的个数是(　　)
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2，选C.
答案　C
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
解析　|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
答案　A
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析　由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°.
答案　C
4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
解析　由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
答案　－8或5
5．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．
解析　由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝0?3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，
∴12k－18＝0，∴k＝.
答案　
6．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解　由向量垂直得

即
化简得
设a与b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝，
又∵θ∈[0，π]，
∴a与b的夹角为.
7．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．
解　(2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.
|a＋b|＝＝
＝＝1.
设向量2a－b与向量a＋b的夹角为θ，
∴|2a－b|cos θ.
＝|2a－b|·
＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的射影为.
能力提升
8．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[，π]
C．[，π] D．[，π]
解析　因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)
若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|，
4|b|2－8|b|2cos θ≥0，
∴cos θ≤，又0≤θ≤π，
∴≤θ≤π.
答案　B
9．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.(　　)
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
解析　|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2
＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|2.
因为|b＋ta|min＝1，
所以
＝|b|2(1－cos2θ)＝1.
所以|b|2sin2θ＝1，
所以|b|sin θ＝1，即|b|＝.
即θ确定，|b|唯一确定．
答案　B
10．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
解析　b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.
答案　2
11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
解析　因为E为CD的中点，所以＝＋＝－＝－，＝＋.因为·＝1，所以·＝·(＋)＝2－2＋·＝1，即1－2＋||cos 60°＝1，所以－2＋||＝0，解得||＝.
答案　
12．已知单位向量e1，e2的夹角为，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
解　∵e1，e2为单位向量且夹角为，
∴e1·e2＝1×1×cos＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)
＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝，
∴cos θ＝＝－×＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.∴a与b的夹角为.
13.(选做题)如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝2，||＝1，∠DAB＝60°.求：
(1)·；
(2)与夹角θ的余弦值．
解　(1)·＝||||cos∠DAB＝2×＝1.
(2)＝＋，＝－，
∴·＝2－2＝4－1＝3，
2＝2＋2＋2·＝1＋4＋2＝7，
||＝，
2＝2＋2－2·＝4＋1－2＝3，
||＝3.
cos θ＝＝＝.