第2章-6 平面向量数量积的坐标表示学案

§6　平面向量数量积的坐标表示
内容要求　1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).
2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难点)．
知识点1　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示
(1)数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)模、夹角、垂直的坐标表示：
【预习评价】
1．已知向量a＝(－4,7)，向量b＝(5,2)，则a·b的值是(　　)
A．34 B．27
C．－43 D．－6
解析　a·b＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6.
答案　D
2．设向量＝(1,0)，＝(1,1)，则向量，的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析　cos θ＝＝＝，
∵θ∈[0，]，∴θ＝.
答案　C
知识点2　直线的方向向量
(1)定义：与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m＝(1，k)．
【预习评价】
1．直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是(　　)
A．(2，－3) B．(2,3)
C．(－3,2) D．(3,2)
答案　D
2．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为________．
答案　x－3y＋5＝0
题型一　平面向量数量积的坐标运算
【例1】　已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)．
∵a·b＝10，∴λ·cos 0°＝10，
解得λ＝2.∴a＝(2,4)．
(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.
规律方法　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
【训练1】　已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．
解　(1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.
(2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，
2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.
(3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，
a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．
题型二　平面向量的夹角问题
【例2】　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
解　(1)∵点C是直线OP上的一点，
∴向量与共线，
设＝t(t∈R)，
则＝t(2,1)＝(2t，t)，
∴＝－＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5－2t,1－t)，
∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(4,2)，
∴＝(－3,5)，＝(1，－1)，
∴||＝，||＝，·＝－3－5＝－8.
∴cos∠ACB＝＝－.
规律方法　利用数量积求两向量夹角的步骤
【训练2】　已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值．
解　(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝＝＝.
(2)由a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝.
【例3】　设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．
求a－2b的坐标和模的大小．
解　∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，
∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，
∴|a－2b|＝＝.
【迁移1】　若c＝3a－(a·b)b，求|c|.
解　a·b＝x1x2＋y1y2＝2，
∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，
∴|c|＝＝.
【迁移2】　若ka－b与a＋b共线，求k的值．
解　∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.
【迁移3】　若ka－b的模等于.求k的值．
解　∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)
∵ka－b的模等于.
∴＝，
化简得k2＋2k－3＝0，解得k＝1或k＝－3.
即当k＝1或k＝－3时满足条件．
规律方法　1.已知向量a＝(x，y)求其模，主要利用公式|a|＝求解．
2．形如(ma＋nb)·(ka＋eb)(m，n，k，e∈R)的坐标运算，有两条途径：其一，展开转化为a2，a·b，b2的坐标运算；其二，先求ma＋nb与ka＋eb的坐标，再运算.
课堂达标
1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角θ为(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.
∴cos θ＝＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
答案　B
2．已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________．
解析　由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2.
答案　2
3．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影是________．
解析　a·b＝13，|b|＝，
|a|cos θ＝＝＝.
答案　
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
解析　∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，
∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
∴c＝a－6b，
∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128.
∴|c|＝8.
答案　8
5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos θ＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝.
课堂小结
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.
2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.
基础过关
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b(　　)
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析　a·b＝－5×6＋6×5＝0，
∴a⊥b.
答案　A
2．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．
又(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－.
答案　A
3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B．2
C．4 D．12
解析　a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.
答案　B
4．已知a＝(3，)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.
解析　a－2b＝(1，)，
(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1.
答案　1
5．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.
解析　由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b＝－4a＝(－4,8)．
答案　(－4,8)
6．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解　(1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
又|a－b|＝
＝，
∴|a－b|＝2或2.
7．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
解　设a与b的夹角为θ，
a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos θ＜0且cos θ≠－1，
所以a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ＞0，且cos θ≠1，
所以a·b＞0且a，b不同向．
由a·b＞0，得λ＞－，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
能力提升
8.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，若⊥，则||＝
(　　)
A. B．2
C．3 D．2
解析　以A为坐标原点，建立坐标系．则A(0,0)，E(2,0)，C(4，x)，D(0，x)(x＞0)．
∴＝(2，－x)，＝(4，x)．
∵⊥，
∴2×4＋(－x)·x＝0，x＝2.
∴＝(2，－2)，||＝＝2.
答案　B
9．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析　设C的坐标为(x，y)，则
＝(x＋3，y－1)，＝(3,4)，＝(x，y－5)．
由∥，⊥，得
解得x＝－3，y＝.
答案　B
10．已知点A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在向量上的投影为________．
解析　由题意知＝(2,2)，＝(－1,3)，设和的夹角为α，则向量在向量上的投影为||cos α＝＝＝.
答案　
11．设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是____________________．
解析　∵θ为钝角，∴cos θ＝<0，
即a·b＝－8＋5x<0，∴x<.
∵a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－，
当x＝－时，a＝(2，－)＝－b，
∴a与b反向，即θ＝π.
故a与b的夹角为钝角时，
x<且x≠－.
答案　x<且x≠－
12．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解　∵＝(2,3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
13．(选做题)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．
(1)a与b能垂直吗？
(2)若a与b夹角为60°，求k的值．
解　(1)因为|ka＋b|＝|a－kb|，
所以(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
因为|a|＝|b|＝1.
所以k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，
所以a·b＝.因为k2＋1≠0，所以a·b≠0，即a与b不垂直．
(2)因为a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，
所以a·b＝|a||b|cos 60°＝.
所以＝.所以k＝1.