第2章-7 向量应用举例学案
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§7 向量应用举例
内容要求 1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题(重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题(难点)．
知识点1 点到直线的距离公式及直线的法向量
1．点M(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
2．(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．
(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．
(3)设直线l的法向量n＝(A，B)，则与n同向的单位向量n0＝＝.
【预习评价】
1．点P0(－1,2)到直线l：2x＋y－10＝0的距离为________．
答案 2
2．直线2x－y＋1＝0的一个法向量是( )
A．(2,1) B．(－1，－2)
C．(1,2) D．(2，－1)
答案 D
知识点2 向量的应用
向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．
【预习评价】
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5,0) B．(－5,0)
C. D．－
答案 C
2．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为________．
答案 4
方向1 基底法解平面向量问题
【例1－1】 如右图，若D是△ABC内的一点，且2－2＝2－2，求证：AD⊥BC.
证明 设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则
a＝e＋c，b＝e＋d.
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0.
∵＝－＝d－c，∴·＝e·(d－c)＝0，
∴⊥.即AD⊥BC.
方向2 坐标法解决平面几何问题
【例1－2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，
从而可求：＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，
不妨设、的夹角为θ，则cos θ＝＝＝
＝－.
故所求钝角的余弦值为－.
方向3 向量在平面几何中的综合应用
【例1－3】 如图所示，△ABC三边长分别为a，b，c，PQ为以A为圆心，r为半径的圆的直径，试判断P、Q在什么位置时·取得最大值．
解 根据题意可以求得：
＝－，＝＋＝－－，
∴·＝(－)(－－)
＝－·＋·－2＋·
＝·－r2＋·(－)
＝·－r2＋·
＝||·||cos ∠BAC－r2＋·
＝bccos∠BAC－r2＋·.
当与同向时，·最大值为
||·||＝ra，即当与同向时，
·取得最大值bccos∠BAC－r2＋ar.
规律方法 用向量解平面几何问题的方法
(1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算．
(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．
题型二 向量在解析几何中的应用
【例2】 已知直线l过点A(1,1)，且它的一个法向量为n＝(－2，1)．
(1)求直线l的一般方程；
(2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2,0)，求l1的一般方程．
解 (1)∵直线l的一个法向量为n＝(－2,1)，
∴直线l的一个方向向量为v＝(1,2)．
∴直线l的斜率为2.
∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－1)．
整理得2x－y－1＝0.
故直线l的一般方程为2x－y－1＝0.
(2)∵直线l1与l垂直，
∴l1的一个方向向量v＝(－2,1)．
∴直线l1的斜率为－.
∴直线l1的点斜式方程为y－0＝－(x－2)．
整理得x＋2y－2＝0.
故直线l1的一般方程为x＋2y－2＝0.
规律方法 1.已知直线的法向量n＝(a，b)，则其方向向量为m＝(b，－a)，利用方向向量可求得直线的斜率k＝－是求直线方程的关键．
2．向量在解析几何中的应用问题主要是：(1)用向量语言表述几何性质．(2)用向量法处理解析几何中平行、垂直、距离、夹角等问题．
【训练1】
如图，在?OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若＝x，＝y(0(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)令F(x)＝＋x，判断F(x)的单调性，并给出你的证明．
解 (1)＝＝－，则＝－＝x－y，
＝－＝(－)－x
＝－(1＋x)＋，
又∥，有x－y(1＋x)＝0，
即f(x)＝(0(2)由(1)得F(x)＝＋x＝x＋＋1(0则F(x1)－F(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝(x1－x2)，
由00，
得F(x1)－F(x2)>0，即F(x1)>F(x2)．
∴F(x)在(0，1)上为减函数．
题型三 向量在解决物理问题中的应用
【例3】 在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
解 设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b.
如图，作向量＝a，＝b，＝c，则四边形OACB为平行四边形．
过C、B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D、E点．
由已知，||＝75(－)，||＝150，∠COD＝45°.
在Rt△COD中，OD＝OCcos 45°＝75，CD＝75.
又ED＝BC＝OA＝75(－)，
∴OE＝OD＋ED＝75.又BE＝CD＝75.
在Rt△OEB中，OB＝＝150，
sin∠BOE＝＝，∴||＝150，∠BOE＝30°.
故没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为西偏北30°.
规律方法 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
【训练2】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．
解 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．
如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段是平行四边形ABDC的对角线．
∵||＝4米/秒，∠ACD＝30°，||＝2米/秒，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，||＝||cos 30°＝2(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为2米/秒.
课堂达标
1．已知△ABC，＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为
( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
答案 A
2．已知直线l：5x－y－7＝0，向量p＝(k＋1,2k－3)，且p∥v，则k的值为(向量v为l的方向向量)( )
A. B.
C. D．－
解析 l的方向向量v＝(1,5)，由v与p平行得：
5(k＋1)＝2k－3.解得k＝－.
答案 D
3．已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是______________．
解析 设P(x，y)为圆上任一点，则
＝(x－1，y－2)，＝(x＋2，y－1)，
由·＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0，
化简得x2＋y2＋x－3y＝0.
答案 x2＋y2＋x－3y＝0
4．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
解析 ＝－＝(3,6)＝，
∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，
∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.
答案 30
5．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值．
解 以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：
＝，＝，
故cos∠DOE＝
＝＝.
课堂小结
1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．
2．用向量解决物理问题需注意：
(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来．
(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解．
(3)要将数学问题还原为物理问题．
基础过关
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
解析 l的方向向量为v＝(－2，m)，
由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.
答案 D
2．若＝2e1，＝4e1，且与的模相等，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．等腰梯形 D．菱形
解析 ＝，又||＝||，
∴四边形ABCD为等腰梯形．
答案 C
3．已知点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三条中线交点
B．三条高线交点
C．三条边的中垂线交点
D．三条角平分线交点
解析 ∵·＝·，
∴(－)·＝·＝0，
∴⊥.
同理可证⊥，⊥，
∴O是三条高线交点．
答案 B
4．已知作用在A(1,1)点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________．
解析 F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．
答案 (9,1)
5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析 如图，作OD⊥AB于D，则在Rt△AOD中，OA＝1，AD＝，所以
∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，所以·＝||·||·cos 120°＝1×1×(－)＝
－.
答案 －
6．过点A(－2,1)，求：
(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．
解 设所求直线上任意一点P(x，y)，
∵A(－2,1)，∴＝(x＋2，y－1)．
(1)由题意知∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
即x－3y＋5＝0.
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.
(2)由题意，知⊥b，
∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，
即x－2y＋4＝0，
∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.
7．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.
解 如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，设P(0，y)，
∴＝(1,3)，＝(－1，y)，
∴||＝，||＝，·＝3y－1，
代入cos 45°＝＝＝.
解得y＝－(舍)或y＝2，
∴点P在靠近点A的AO的三等分处．
能力提升
8．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )
A．2 B.
C．－3 D．－
解析 如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，
∴＝3，∴＝－3.
答案 C
9．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 ∵|－|＝||＝|－|，
|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
设＋＝，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
答案 B
10．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析 ·＝3×2×cos 60°＝3，＝＋，则·＝·(λ－)＝×3＋×4－×9－×3＝－4?λ＝.
答案
11.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析 ∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.
答案 2
12．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求||.
解 (1)由题意得＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以⊥，即∠A＝90°.因为||＝||，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．
又A(1,2)，所以＝(1，－2)．
所以||＝＝.
13.(选做题)如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ.
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大．
(2)由(1)，得|F1|＝，
由|F1|≤2|G|，得cos θ≥.
又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.
内容要求 1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题(重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题(难点)．
知识点1 点到直线的距离公式及直线的法向量
1．点M(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
2．(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．
(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．
(3)设直线l的法向量n＝(A，B)，则与n同向的单位向量n0＝＝.
【预习评价】
1．点P0(－1,2)到直线l：2x＋y－10＝0的距离为________．
答案 2
2．直线2x－y＋1＝0的一个法向量是( )
A．(2,1) B．(－1，－2)
C．(1,2) D．(2，－1)
答案 D
知识点2 向量的应用
向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．
【预习评价】
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5,0) B．(－5,0)
C. D．－
答案 C
2．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为________．
答案 4
方向1 基底法解平面向量问题
【例1－1】 如右图，若D是△ABC内的一点，且2－2＝2－2，求证：AD⊥BC.
证明 设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则
a＝e＋c，b＝e＋d.
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0.
∵＝－＝d－c，∴·＝e·(d－c)＝0，
∴⊥.即AD⊥BC.
方向2 坐标法解决平面几何问题
【例1－2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，
从而可求：＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，
不妨设、的夹角为θ，则cos θ＝＝＝
＝－.
故所求钝角的余弦值为－.
方向3 向量在平面几何中的综合应用
【例1－3】 如图所示，△ABC三边长分别为a，b，c，PQ为以A为圆心，r为半径的圆的直径，试判断P、Q在什么位置时·取得最大值．
解 根据题意可以求得：
＝－，＝＋＝－－，
∴·＝(－)(－－)
＝－·＋·－2＋·
＝·－r2＋·(－)
＝·－r2＋·
＝||·||cos ∠BAC－r2＋·
＝bccos∠BAC－r2＋·.
当与同向时，·最大值为
||·||＝ra，即当与同向时，
·取得最大值bccos∠BAC－r2＋ar.
规律方法 用向量解平面几何问题的方法
(1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算．
(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．
题型二 向量在解析几何中的应用
【例2】 已知直线l过点A(1,1)，且它的一个法向量为n＝(－2，1)．
(1)求直线l的一般方程；
(2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2,0)，求l1的一般方程．
解 (1)∵直线l的一个法向量为n＝(－2,1)，
∴直线l的一个方向向量为v＝(1,2)．
∴直线l的斜率为2.
∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－1)．
整理得2x－y－1＝0.
故直线l的一般方程为2x－y－1＝0.
(2)∵直线l1与l垂直，
∴l1的一个方向向量v＝(－2,1)．
∴直线l1的斜率为－.
∴直线l1的点斜式方程为y－0＝－(x－2)．
整理得x＋2y－2＝0.
故直线l1的一般方程为x＋2y－2＝0.
规律方法 1.已知直线的法向量n＝(a，b)，则其方向向量为m＝(b，－a)，利用方向向量可求得直线的斜率k＝－是求直线方程的关键．
2．向量在解析几何中的应用问题主要是：(1)用向量语言表述几何性质．(2)用向量法处理解析几何中平行、垂直、距离、夹角等问题．
【训练1】
如图，在?OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若＝x，＝y(0
(2)令F(x)＝＋x，判断F(x)的单调性，并给出你的证明．
解 (1)＝＝－，则＝－＝x－y，
＝－＝(－)－x
＝－(1＋x)＋，
又∥，有x－y(1＋x)＝0，
即f(x)＝(0
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝(x1－x2)，
由0
得F(x1)－F(x2)>0，即F(x1)>F(x2)．
∴F(x)在(0，1)上为减函数．
题型三 向量在解决物理问题中的应用
【例3】 在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
解 设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b.
如图，作向量＝a，＝b，＝c，则四边形OACB为平行四边形．
过C、B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D、E点．
由已知，||＝75(－)，||＝150，∠COD＝45°.
在Rt△COD中，OD＝OCcos 45°＝75，CD＝75.
又ED＝BC＝OA＝75(－)，
∴OE＝OD＋ED＝75.又BE＝CD＝75.
在Rt△OEB中，OB＝＝150，
sin∠BOE＝＝，∴||＝150，∠BOE＝30°.
故没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为西偏北30°.
规律方法 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
【训练2】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．
解 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．
如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段是平行四边形ABDC的对角线．
∵||＝4米/秒，∠ACD＝30°，||＝2米/秒，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，||＝||cos 30°＝2(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为2米/秒.
课堂达标
1．已知△ABC，＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为
( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
答案 A
2．已知直线l：5x－y－7＝0，向量p＝(k＋1,2k－3)，且p∥v，则k的值为(向量v为l的方向向量)( )
A. B.
C. D．－
解析 l的方向向量v＝(1,5)，由v与p平行得：
5(k＋1)＝2k－3.解得k＝－.
答案 D
3．已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是______________．
解析 设P(x，y)为圆上任一点，则
＝(x－1，y－2)，＝(x＋2，y－1)，
由·＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0，
化简得x2＋y2＋x－3y＝0.
答案 x2＋y2＋x－3y＝0
4．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
解析 ＝－＝(3,6)＝，
∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，
∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.
答案 30
5．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值．
解 以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：
＝，＝，
故cos∠DOE＝
＝＝.
课堂小结
1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．
2．用向量解决物理问题需注意：
(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来．
(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解．
(3)要将数学问题还原为物理问题．
基础过关
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
解析 l的方向向量为v＝(－2，m)，
由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.
答案 D
2．若＝2e1，＝4e1，且与的模相等，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．等腰梯形 D．菱形
解析 ＝，又||＝||，
∴四边形ABCD为等腰梯形．
答案 C
3．已知点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三条中线交点
B．三条高线交点
C．三条边的中垂线交点
D．三条角平分线交点
解析 ∵·＝·，
∴(－)·＝·＝0，
∴⊥.
同理可证⊥，⊥，
∴O是三条高线交点．
答案 B
4．已知作用在A(1,1)点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________．
解析 F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．
答案 (9,1)
5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析 如图，作OD⊥AB于D，则在Rt△AOD中，OA＝1，AD＝，所以
∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，所以·＝||·||·cos 120°＝1×1×(－)＝
－.
答案 －
6．过点A(－2,1)，求：
(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．
解 设所求直线上任意一点P(x，y)，
∵A(－2,1)，∴＝(x＋2，y－1)．
(1)由题意知∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
即x－3y＋5＝0.
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.
(2)由题意，知⊥b，
∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，
即x－2y＋4＝0，
∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.
7．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.
解 如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，设P(0，y)，
∴＝(1,3)，＝(－1，y)，
∴||＝，||＝，·＝3y－1，
代入cos 45°＝＝＝.
解得y＝－(舍)或y＝2，
∴点P在靠近点A的AO的三等分处．
能力提升
8．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )
A．2 B.
C．－3 D．－
解析 如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，
∴＝3，∴＝－3.
答案 C
9．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 ∵|－|＝||＝|－|，
|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
设＋＝，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
答案 B
10．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析 ·＝3×2×cos 60°＝3，＝＋，则·＝·(λ－)＝×3＋×4－×9－×3＝－4?λ＝.
答案
11.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析 ∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.
答案 2
12．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求||.
解 (1)由题意得＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以⊥，即∠A＝90°.因为||＝||，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．
又A(1,2)，所以＝(1，－2)．
所以||＝＝.
13.(选做题)如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ.
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大．
(2)由(1)，得|F1|＝，
由|F1|≤2|G|，得cos θ≥.
又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.