第2章-平面向量章末复习课学案
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文档简介
章末复习课
网络构建
核心归纳
1．平面向量的基本概念
主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查．
2．向量的线性运算
主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．
3．向量的坐标运算
主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．
4．平面向量的数量积
平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题．
5．平面向量的应用
一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题．
要点一 向量共线问题
运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a≠0)共线?存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线?|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.
判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．
【例1】 设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．
解 方法一 假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥，
∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ(i＋mj)，∴m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．
方法二 假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A、B、C三点共线，即∥，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．
【训练1】 证明：起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在一条直线上(a≠b)．
证明 如图，
设＝a，＝b，＝3a－2b，
∵＝－＝(3a－2b)－a＝2(a－b)，＝－＝b－a，
∴＝－2，∴，共线．
又，有共同起点A，∴A，B，C在同一条直线上．
∴起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在一条直线上(a≠b)．
要点二 平面向量的线性运算
1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，特别是平行四边形法则和三角形法则的应用．
【例2】 如图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解 (1)依题意，A是BC的中点，
∴2＝＋，即＝2－＝2a－b.
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)设＝λ，
则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，
∴存在实数k，使＝k，
(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
【训练2】 计算：
(1)3(6a＋b)－9(a＋b)；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
解 (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
要点三 平面向量的坐标运算
1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．
2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．
3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题．
【例3】 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求a·b；
(2)(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)设d＝(x，y)，满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.
解 (1)a·b＝(3,2)·(－1,2)＝－3＋4＝1.
(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，而a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.
(3)因为d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，
所以
解得或
所以d＝或d＝.
【训练3】 已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－.求点C，D和的坐标．
解 ∵A(－1,2)，B(2,8)．
∴＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，
＝＝(1,2)，
＝－＝＝(1,2)．
则＝＋＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，
＝＋＝－＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)．
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
∴＝(－2，－4)．
要点四 向量的夹角及垂直问题
1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：
(1)cos θ＝，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模．
(2)cos θ＝，求解的前提是：求出两个向量的坐标．
2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．
3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．
【例4】 已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解 ∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴点C坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16，
设与的夹角为θ，
则|cos θ|＝＝＝.
∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.
【训练4】 已知O为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析 由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈，
则tan α＜0，解得tan α＝－，故选A.
答案 A
要点五 向量的长度(模)与距离的问题
向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a|2＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|＝，将它转化为实数问题，使问题得以解决．
【例5】 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．
解 方法一 ∵|3a－2b|＝3，
∴9a2－12a·b＋4b2＝9.
又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2
＝9＋6×＋1＝12.
∴|3a＋b|＝2.
方法二 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
∵|a|＝|b|＝1，∴x＋y＝x＋y＝1.
∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，
∴|3a－2b|＝＝3.
∴x1x2＋y1y2＝.
∴|3a＋b|＝
＝ ＝2.
【训练5】 设0<|a|≤2，f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|.
解 f(x)＝1－sin2 x－|a|sin x－|b|
＝－2＋－|b|＋1.
∵0<|a|≤2，∴当sin x＝－时，－|b|＋1＝0；
当sin x＝1时，－|a|－|b|＝－4.
由得
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋4，
∴|a＋b|＝＝2.
基础过关
1．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝( )
A. B.
C. D.
解析 |a＋2b|＝
＝
＝＝.
答案 B
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则向量a在b方向上的射影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 |a|cos θ＝＝＝－.
答案 D
3．若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
解析 a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，a2＝b2，|a|＝|b|，cos θ＝＝＝.∴θ＝.
答案 B
4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．
解析 由题意得a＋b＝(m－1，3)，
因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.
答案 7
5．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
解析 a－2b＝(，3)，
∵(a－2b)∥c，
∴3－3k＝0，∴k＝1.
答案 1
6．已知|a|＝，|b|＝1.
(1)若a，b的夹角θ为45°，求|a－b|；
(2)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角θ.
解 (1)|a－b|＝
＝＝1.
(2)∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝a·b－b2＝×1×cos θ－1＝0，
∴cos θ＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
7．已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
解 (1)∵点C是直线OP上的一点，
∴向量与共线，
设＝t(t∈R)，则＝t(2,1)＝(2t，t)，
∴＝－＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5－2t,1－t)，
∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(4,2)，∴＝(－3,5)，＝(1，－1)，
∴||＝，||＝，·＝－3－5＝－8.
∴cos∠ACB＝＝－.
能力提升
8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析 ·(＋)
＝·2＝2||·||·cos 180°
＝2×××(－1)＝－.
答案 A
9．已知a＝，b＝，a∥b,0≤α＜2π，则角α等于( )
A. B.
C.或 D.或
解析 因为a∥b，所以sin α＝cos α，
所以tan α＝，又0≤α＜2π，所以α＝或.
答案 D
10．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝，D是BC的中点，则在方向上的射影是________．
解析 由题意知，与所成的角为，
∴在方向上的射影是2×cos＝－.
答案 －
11．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
解析 由题意得：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，
即ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e＝0，则k＋cos－2kcos－2＝0，化简得k＝.
答案
12.在△ABC中，＝，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如右图所示，设＝a，＝b，试用a，b表示.
解 ∵M为BC的中点．
∴＝＝(－)＝(b－a)，＝＋＝(a＋b)．
∵∥，∥，
根据向量共线的条件，存在实数λ和μ，使得＝λ＝λ(b－a)，＝μ＝μ(a＋b)，
∴＝＋＝a＋λ(b－a)
＝a＋b.
根据平面向量基本定理得
解方程得λ＝μ＝，故＝(b－a)．
13．(选做题)已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
解 (1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝(－x－4,2－y)．
又∵∥且＝(x，y)，
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，
即x＋2y＝0.①
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又⊥，
所以·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②
联立①②化简，得y2－2y－3＝0.
解得y＝3或y＝－1.
故当y＝3时，x＝－6，
此时＝(0,4)，＝(－8,0)，
所以SABCD＝||·||＝16；
当y＝－1时，x＝2，
此时＝(8,0)，＝(0，－4)，
∴SABCD＝||·||＝16.
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核心归纳
1．平面向量的基本概念
主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查．
2．向量的线性运算
主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．
3．向量的坐标运算
主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．
4．平面向量的数量积
平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题．
5．平面向量的应用
一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题．
要点一 向量共线问题
运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a≠0)共线?存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线?|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.
判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．
【例1】 设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．
解 方法一 假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥，
∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ(i＋mj)，∴m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．
方法二 假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A、B、C三点共线，即∥，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．
【训练1】 证明：起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在一条直线上(a≠b)．
证明 如图，
设＝a，＝b，＝3a－2b，
∵＝－＝(3a－2b)－a＝2(a－b)，＝－＝b－a，
∴＝－2，∴，共线．
又，有共同起点A，∴A，B，C在同一条直线上．
∴起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在一条直线上(a≠b)．
要点二 平面向量的线性运算
1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，特别是平行四边形法则和三角形法则的应用．
【例2】 如图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解 (1)依题意，A是BC的中点，
∴2＝＋，即＝2－＝2a－b.
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)设＝λ，
则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，
∴存在实数k，使＝k，
(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
【训练2】 计算：
(1)3(6a＋b)－9(a＋b)；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
解 (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
要点三 平面向量的坐标运算
1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．
2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．
3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题．
【例3】 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求a·b；
(2)(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)设d＝(x，y)，满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.
解 (1)a·b＝(3,2)·(－1,2)＝－3＋4＝1.
(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，而a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.
(3)因为d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，
所以
解得或
所以d＝或d＝.
【训练3】 已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－.求点C，D和的坐标．
解 ∵A(－1,2)，B(2,8)．
∴＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，
＝＝(1,2)，
＝－＝＝(1,2)．
则＝＋＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，
＝＋＝－＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)．
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
∴＝(－2，－4)．
要点四 向量的夹角及垂直问题
1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：
(1)cos θ＝，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模．
(2)cos θ＝，求解的前提是：求出两个向量的坐标．
2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．
3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．
【例4】 已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解 ∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴点C坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16，
设与的夹角为θ，
则|cos θ|＝＝＝.
∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.
【训练4】 已知O为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析 由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈，
则tan α＜0，解得tan α＝－，故选A.
答案 A
要点五 向量的长度(模)与距离的问题
向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a|2＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|＝，将它转化为实数问题，使问题得以解决．
【例5】 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．
解 方法一 ∵|3a－2b|＝3，
∴9a2－12a·b＋4b2＝9.
又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2
＝9＋6×＋1＝12.
∴|3a＋b|＝2.
方法二 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
∵|a|＝|b|＝1，∴x＋y＝x＋y＝1.
∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，
∴|3a－2b|＝＝3.
∴x1x2＋y1y2＝.
∴|3a＋b|＝
＝ ＝2.
【训练5】 设0<|a|≤2，f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|.
解 f(x)＝1－sin2 x－|a|sin x－|b|
＝－2＋－|b|＋1.
∵0<|a|≤2，∴当sin x＝－时，－|b|＋1＝0；
当sin x＝1时，－|a|－|b|＝－4.
由得
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋4，
∴|a＋b|＝＝2.
基础过关
1．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝( )
A. B.
C. D.
解析 |a＋2b|＝
＝
＝＝.
答案 B
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则向量a在b方向上的射影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 |a|cos θ＝＝＝－.
答案 D
3．若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
解析 a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，a2＝b2，|a|＝|b|，cos θ＝＝＝.∴θ＝.
答案 B
4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．
解析 由题意得a＋b＝(m－1，3)，
因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.
答案 7
5．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
解析 a－2b＝(，3)，
∵(a－2b)∥c，
∴3－3k＝0，∴k＝1.
答案 1
6．已知|a|＝，|b|＝1.
(1)若a，b的夹角θ为45°，求|a－b|；
(2)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角θ.
解 (1)|a－b|＝
＝＝1.
(2)∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝a·b－b2＝×1×cos θ－1＝0，
∴cos θ＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
7．已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
解 (1)∵点C是直线OP上的一点，
∴向量与共线，
设＝t(t∈R)，则＝t(2,1)＝(2t，t)，
∴＝－＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5－2t,1－t)，
∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(4,2)，∴＝(－3,5)，＝(1，－1)，
∴||＝，||＝，·＝－3－5＝－8.
∴cos∠ACB＝＝－.
能力提升
8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析 ·(＋)
＝·2＝2||·||·cos 180°
＝2×××(－1)＝－.
答案 A
9．已知a＝，b＝，a∥b,0≤α＜2π，则角α等于( )
A. B.
C.或 D.或
解析 因为a∥b，所以sin α＝cos α，
所以tan α＝，又0≤α＜2π，所以α＝或.
答案 D
10．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝，D是BC的中点，则在方向上的射影是________．
解析 由题意知，与所成的角为，
∴在方向上的射影是2×cos＝－.
答案 －
11．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
解析 由题意得：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，
即ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e＝0，则k＋cos－2kcos－2＝0，化简得k＝.
答案
12.在△ABC中，＝，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如右图所示，设＝a，＝b，试用a，b表示.
解 ∵M为BC的中点．
∴＝＝(－)＝(b－a)，＝＋＝(a＋b)．
∵∥，∥，
根据向量共线的条件，存在实数λ和μ，使得＝λ＝λ(b－a)，＝μ＝μ(a＋b)，
∴＝＋＝a＋λ(b－a)
＝a＋b.
根据平面向量基本定理得
解方程得λ＝μ＝，故＝(b－a)．
13．(选做题)已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
解 (1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝(－x－4,2－y)．
又∵∥且＝(x，y)，
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，
即x＋2y＝0.①
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又⊥，
所以·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②
联立①②化简，得y2－2y－3＝0.
解得y＝3或y＝－1.
故当y＝3时，x＝－6，
此时＝(0,4)，＝(－8,0)，
所以SABCD＝||·||＝16；
当y＝－1时，x＝2，
此时＝(8,0)，＝(0，－4)，
∴SABCD＝||·||＝16.