第3章-1 同角三角函数的基本关系学案

§1　同角三角函数的基本关系
内容要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2 x＝1，＝tan x (重点).2.会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明(难点)．
知识点　同角三角函数的基本关系
【预习评价】
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C．  D. 
答案　A
2．已知α是第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案　A
题型一　利用同角基本关系式求值
【例1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝ ＝ ＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
规律方法　同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．
【训练1】　已知sin α＝m(|m|≤1)，求tan α的值．
解　当m＝0时，cos α＝±1，tan α＝＝0；
当m＝±1时，α的终边在y轴上，cos α＝0，tan α无意义；
当α在第一、四象限时，cos α＞0，
∴cos α＝＝
∴tan α＝＝；
当α在第二、三象限时，cos α＜0，
∴cos α＝－＝－.
∴tan α＝＝＝.
题型二　已知正切求值
【例2】　已知tan α＝2.求：
(1)；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
解　(1)原式＝＝＝－2.
(2)原式＝
＝＝＝1.
规律方法　知切求弦常见的有两类：
1．求关于sin α、cos α的齐次式值的问题，如果cos α≠0，则可将被求式化为关于tan α的表达式，然后整体代入tan α的值，从而完成被求式的求值问题．
2．若不是sin α，cos α的齐次式，可利用方程组的消元思想求解．如果已知tan α的值，求形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的值，注意将分母的1化为sin2α＋cos2α，将其代入，再转化为关于tan α的表达式后求值．
【训练2】　已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1.
求：(1)tan α；
(2).
解　（1）由条件得
＝1
?＝1
?4tan2α－3tan α－1＝0
?tan α＝－或tan α＝1.
(2)原式＝，
当tan α＝－时，原式＝；
当tan α＝1时，原式＝.
方向1　三角函数式的化简
【例3－1】　化简tan α，其中α是第二象限角．
解　因为α是第二象限角，
所以sin α＞0，cos α＜0.
故tan α
＝tan α
＝tan α
＝·
＝·
＝－1.
方向2　三角恒等式的证明
【例3－2】　求证：＝.
证明　左边＝＝
＝＝＝右边，所以等式成立．
方向3　利用sin α±cos α与sin αcos α的关系解题
【例3－3】　已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin Acos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求sin A－cos A的值．
解　(1)∵sin A＋cos A＝，
两边平方得1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－.
(2)由(1)sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π，可知cos A＜0，∴角A为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
(3)(sin A－cos A)2
＝1－2sin Acos A
＝.
由(2)知sin A－cos A＞0，
∴sin A－cos A＝.
规律方法　1.三角函数式化简的三种常用技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式的原则是由繁到简．常用的方法有：
(1)从一边开始，证得它等于另一边；
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式.
课堂达标
1．已知sin α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　)
A. B.
C．± D．±
解析　∵sin α＝，α∈(0，π)，
∴cos α＝±＝±，
∴tan α＝＝±.
答案　D
2．已知tan α＝－，那么sin2α＋2sin αcos α－3cos2α的值是(　　)
A．－ B．－
C．3 D．－3
解析　sin2α＋2sin αcos α－3cos2α
＝
＝，
将tan α＝－代入上式得－3.
答案　D
3．若tan α＝2，且α∈，则sin＝________.
解析　∵tan α＝＝2，∴sin α＝2cos α，
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝.
∵α∈，∴cos α＝－.
∴sin＝cos α＝－.
答案　－
4．已知sin αcos α＝，则sin α－cos α＝________.
解析　(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α
＝1－2sin αcos α＝.
则sin α－cos α＝±.
答案　±
5．已知sin α＋cos α＝m，求sin3α＋cos3α的值．
解　∵sin α＋cos α＝m，∴sin αcos α＝.
∴sin3α＋cos3α＝(sin α＋cos α)(sin2α－sin αcos α＋cos2α)
＝m(1－)＝(3－m2)．
课堂小结
1．“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．
2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．
3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：
(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．
(2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．
(3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.
基础过关
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)
A．tan α＝－
B．cos α＝－
C．sin α＝－
D．tan α＝
解析　由商数关系可知A、D均不正确，当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B正确．
答案　B
2．已知＝2，则sin θcos θ的值是(　　)
A. B．±
C. D．－
解析　由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，
解得sin θcos θ＝.
答案　C
3．已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析　∵α是第二象限角，∴cos α<0.
又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，
∴cos α＝－.
答案　C
4．若α为第三象限角，则＋＝________.
解析　∵α为第三象限角，
∴sin α<0，cos α<0，
∴原式＝＋
＝＋＝－1－2
＝－3.
答案　－3
5．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝______.
解析　(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴cos α∴cos α－sin α＝－.
答案　－
6．已知sin θ＋cos θ＝－.
求：(1)＋的值；(2)tan θ的值．
解　(1)因为sin θ＋cos θ＝－，
所以1＋2sin θcos θ＝，sin θcos θ＝－.
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，
即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－.
7．若cos α＝－且tan α＞0，求的值．
解　＝
＝＝
＝
＝sin α(1＋sin α)．
∵tan α＝＞0，cos α＝－＜0，
∴sin α＜0.又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝－＝－，
∴原式＝sin α(1＋sin α)
＝－·＝－.
能力提升
8．函数y＝－sin2x－3cos x的最小值是(　　)
A．－ B．－2
C. D．－
解析　y＝－(1－cos2x)－3cos x
＝cos2x－3cos x＋
＝2－2
当cos x＝1时，ymin＝2－2＝－.
答案　A
9．使＝成立的角α的范围是(　　)
A．2kπ－π＜α＜2kπ(k∈Z)
B．2kπ－π≤α≤2kπ(k∈Z)
C．2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)
D．只能是第三或第四象限角
解析　∵＝＝＝，
∴sin α＜0.∴2kπ－π＜α＜2kπ，(k∈Z)．
答案　A
10．已知sin x＝，cos x＝，且x∈，则tan x＝________.
解析　由sin2x＋cos2x＝1，即2＋2＝1.得m＝0或m＝8.又x∈，∴sin x＜0，cos x＞0，∴当m＝0时，sin x＝－，cos x＝，此时
tan x＝－；当m＝8时，sin x＝，cos x＝－(舍去)，
综上知：tan x＝－.
答案　－
11．在△ABC中，sin A＝ ，则角A＝________.
解析　由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝ 两边平方得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝.
答案　
12．求证：－＝.
证明　方法一
左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边．∴原式成立．
方法二　∵＝＝，
＝＝，
∴－＝.∴原式成立．
13．(选做题)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值;
(2)＋的值;
(3)方程的两根及此时θ的值．
解　(1)由根与系数的关系可知，
Sin θ＋cos θ＝，①
sin θ·cos θ＝m，②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，
所以sin θ·cos θ＝，代入②得m＝.
(2)＋
＝＋
＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)因为已求得m＝，
所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，
解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.