第3章-2.1+2.2 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数学案

§2　两角和与差的三角函数
2．1　两角差的余弦函数
2．2　两角和与差的正弦、余弦函数
内容要求　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(重点).2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式，了解它们的内在联系(重点).4.能运用上述公式进行简单恒等变换(难点)．
知识点1　两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(3.3)
Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(3.4)
【预习评价】
1．cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　B
2．cos 75°＝________.
答案　
知识点2　两角和与差的正弦公式
Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(3.5)
Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(3.6)
【预习评价】
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
2．已知sin α＝，0＜α＜，则cos α＝________，sin＝________.
答案　　
题型一　给角求值
【例1】　求值：(1)sin 15°＋cos 15°；
(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.
解　(1)方法一　sin 15°＋cos 15°
＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 45°cos 30°＋sin 45°·sin 30°
＝×－×＋×＋×＝.
方法二　sin 15°＋cos 15°
＝
＝sin(15°＋45°)
＝sin 60°＝.
(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29°
＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29°
＝－(sin 29°cos 1°＋cos 29°sin 1°)
＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－.
规律方法　解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”．
【训练1】　求下列式子的值：
(1)cos(－15°)；
(2)sin 795°；
(3)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°.
解　(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)
＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
(2)sin 795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
＝×＋×
＝.
(3)∵cos 167°＝cos(90°＋77°)＝－sin 77°
∴原式＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77°
＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－.
题型二　给值求值
已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，sin＝，求
sin(α＋β)的值．
解　∵＜α＜，∴－＜－α＜0.
∴sin＝－＝－.
又∵0＜β＜，∴＜＋β＜π，
∴cos＝－＝－，
sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝.
规律方法　在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：
(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
【训练2】　已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
解　∵＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜.
∴sin(α－β)＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－.
∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
【探究1】　已知A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，求A＋B的值．
解　∵A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，
∴cos A＝－＝－，
cos B＝－＝－，
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝－×(－)－×＝.
又∵＜A＜π，＜B＜π，∴π＜A＋B＜2π，
∴A＋B＝.
【探究2】　已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求β的值．
解　∵α、β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
【探究3】　已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求β的值．
解　由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝，
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－.
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，α－β∈，∴2β∈.
∴2β＝π，则β＝.
规律方法　1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．
2．选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数.
课堂达标
1．sin 75°等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝.
答案　B
2．sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　原式＝sin(69°－99°)＝sin(－30°)＝－.
答案　B
3．计算：sin 60°＋cos 60°＝________.
解析　原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°
＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝.
答案　
4．已知锐角α、β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.
解析　∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π.
答案　
5．已知锐角α、β满足cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β.
解　∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝.
又∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.
又∵tan(α－β)＝－<0，∴cos(α－β)＝.
从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
课堂小结
1．两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差的三角函数公式的特例，例如：sin(π＋α)＝sin πcos α＋cos πsin α＝
－sin α.
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地取得条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.
基础过关
1．设α∈，若sin α＝，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　cos＝
＝cos α＋sin α＝＋＝.
答案　A
2．化简sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为(　　)
A．sin 2x B．cos 2x
C．－cos 2x D．－sin 2x
解析　原式＝－cos[(x＋y)＋(x－y)]＝－cos 2x，故选C.
答案　C
3．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵cos α＝，cos(α＋β)＝，α、β∈，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
答案　C
4．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.
解析　原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝.
答案　
5．已知α∈，tan α＝2，则cos＝________．
解析　由tan α＝2得sin α＝2 cos α，
又sin 2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.
因为α∈，所以cos α＝，sin α＝.
因为cos＝cos αcos ＋sin αsin 
＝×＋×＝.
答案　
6．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β.
解　∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝.
∵－<α－β<且sin(α－β)＝－，
∴cos(α－β)＝，
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝，
∵β为锐角，∴β＝.
7．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β)．
解　由cos α－cos β＝两边平方得
(cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝.①
由sin α－sin β＝－两边平方得
(sin α－sin β)2＝sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝.②
①＋②得
2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝.
∴cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos(α－β)＝.
能力提升
8．在△ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析　∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝2cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0.
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
答案　C
9．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．1＋ D．2＋
解析　f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x
＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，∴≤x＋<.
∴f(x)max＝2.
答案　B
10．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝________.
解析　因sin αcos β＝1且－1≤sin α≤1，－1≤cos β≤1，
故有或
所以cos α＝sin β＝0，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.
答案　0
11．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若·＝－1，则sin(α＋)＝_____.
解析　∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴·＝(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)
＝cos2α－3cos α＋sin2α－3sin α
＝1－3(sin α＋cos α)
＝1－3(sin α＋cos α)
＝1－3sin(α＋)＝－1，
∴sin(α＋)＝.
答案　
12．(1)已知sin α＝，cos β＝－，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．
(2)若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．
解　(1)∵sin α＝，cos β＝－，α、β为第二象限角，
∴cos α＝－＝－，
sin β＝＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×(－)＋(－)×＝，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×(－)－(－)×＝.
(2)∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－，
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
13．(选做题)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f(0)的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．
解　(1)f(0)＝2sin＝－1.
(2)由f(3α＋)＝得2sin α＝，即sin α＝，
由f(3β＋2π)＝得2sin＝，从而cos β＝.
∵α，β∈，
∴cos α＝＝，sin β＝＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.