第3章-2.3 两角和与差的正切函数学案

2.3　两角和与差的正切函数
内容要求　能够利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，并能灵活运用公式及变形解决相关问题(重、难点)．
知识点　两角和与差的正切公式
【预习评价】
1．tan 105°＝(　　)
A．－2－ B．－1－
C. D．－2＋
答案　A
2.＝________.
答案　
题型一　化简求值
【例1】　求下列各式的值：
(1)；
(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.
解　(1)原式＝＝tan(60°＋15°)
＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝
＝＝2＋；
(2)∵tan 45°＝＝1，
∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°
∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.
规律方法　在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现，1，，这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．
【训练1】　(1)；
(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°.
解　(1)∵tan 15°＝tan(45°－30°)
＝
＝＝2－.
∴＝＝＝＝－.
(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°·tan 50°
＝tan(10°＋50°)(1－tan 10°·tan 50°)＋tan 10°tan 50°
＝tan 60°－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°
＝tan 60°＝.
【探究1】　若tan＝，则tan α＝________．
解析　tan α＝tan＝
＝＝.
答案　
【探究2】　已知sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．
解　∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，
∴sin θ＝.又∵θ是第二象限角，
∴cos θ＝－＝－，
∴tan θ＝＝－.
又∵tan φ＝，
∴tan(θ－φ)＝
＝＝－2.
【探究3】　已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan；(2)tan(α＋β)．
解　(1)tan
＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
【探究4】　已知A、B、C是三角形ABC的三个内角，且tan A、tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，求tan C.
解　因为tan A、tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，所以tan A＋tan B＝－，
tan A tan B＝－，
所以tan(A＋B)＝＝＝－2，
又A＋B＋C＝π.
所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.
规律方法　“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．
题型三　给值求角
【例2】　已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解　因为tan β＝－，tan(α－β)＝，
所以tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝，
所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝
＝＝1.
因为tan α＝＞0，tan β＝－＜0，
所以α∈，β∈，α－β∈(－π，0)．
又tan(α－β)＝＞0，所以α－β∈，
2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，而tan(2α－β)＝1，
故2α－β＝－.
规律方法　在求角问题中，常常出现忽视角的范围而出现增根不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应．
【训练2】　已知tan α，tan β是x2＋3x＋4＝0的两根，－＜α＜，－＜β＜，求α＋β的值．
解　∵tan α＋tan β＝－3＜0，tan α·tan β＝4＞0，
∴tan α＜0，tan β＜0，
∵－＜α＜，－＜β＜，
∴－＜α＜0，－＜β＜0.
∴－π＜α＋β＜0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
∴α＋β＝－.
课堂达标
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　)
A. B．－
C．3 D．－3
解析　tan(α－β)＝＝＝.
答案　A
2．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．不确定
解析　(1＋tan A)(1＋tan B)
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
答案　B
3．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝____.
解析　∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
∵0答案　
4．在△ABC中，tan A＝，tan B＝，那么tan C的值等于________．
解析　tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝－.
答案　－
5．若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
解　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，
∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，
∴＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.
∵α，β∈，∴α＋β∈(π，2π)．
∴α＋β＝.
课堂小结
1．公式Tα±β的适用范围
由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式Tα±β的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
如tan＝1，tan＝，tan＝等．
要特别注意tan＝，tan＝.
3．公式Tα±β的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式Tα±β的意识，就不难想到解题思路.
基础过关
1．已知α∈，sin α＝，则tan的值等于(　　)
A. B．7
C．－ D．－7
解析　已知α∈，sin α＝，则tan α＝－，tan(α＋)＝＝.故选A.
答案　A
2.＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－.
答案　D
3．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(2α－β)的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝.
答案　D
4．已知tan(α＋β)＝，tan α＝－2，则tan β＝________.
解析　∵β＝(α＋β)－α，∴tan β＝＝7.
答案　7
5．已知α∈，tan＝－7，则sin α＝________.
解析　由tan＝＝－7，
∴tan α＝－＜0，又α∈，
∴α∈，∴sin α＝.
答案　
6．求下列各式的值．
(1)；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．
解　(1)原式＝
＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝2－.
(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°
＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°
＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°
＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.
7．已知tan＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解　(1)∵tan＝，
∴＝.∴tan α＝－.
(2)原式＝＝＝－.
能力提升
8．若tan 28°tan 32°＝a，则tan 28°＋tan 32°等于(　　)
A.a B.(1－a)
C.(a－1) D.(a＋1)
解析　∵tan(28°＋32°)＝＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝(1－a)．
答案　B
9．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于(　　)
A．1 B．2
C．tan 10° D.tan 20°
解析　原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°
＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)＝×＝1.
答案　A
10．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.
解析　＝
＝＝＝－.
答案　－
11．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
解析　∵tan β＝＝.
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
答案　1
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解　(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝，cos β＝，
因α为锐角，故sin α＞0.
从而sin α＝＝.
同理可得sin β＝.
因此tan α＝7，tan β＝.
所以tan(α＋β)＝
＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝－1.
又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜.
从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.
13．(选做题)是否存在锐角α和β，使①α＋2β＝，②tan·tan β＝2－，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解　解法一：由①得＋β＝.
∴tan＝＝.
将②代入得tan＋tan β＝3－.
∴tan，tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则与α为锐角矛盾．
∴tan β＝1，tan ＝2－，
∴β＝，
代入①得α＝，
满足tan＝2－.
解法二：由①得＝－β，代入②得：
tan·tan β＝2－?·tan β＝2－?tan2β－(3－)tan β＋2－＝0，
tan β＝1或2－.
若tan β＝1，则β＝，α＝.
若tan β＝2－，代入②得tan＝1.不合题意．
故存在α＝，β＝，使①②同时成立．