第3章-3-1 二倍角的三角函数(一)学案

§3　二倍角的三角函数(一)
内容要求　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(难点)．
知识点1　二倍角公式
1．sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，令β＝α，得sin 2α＝2sin_αcos_α.
2．cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，令β＝α，得cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
3．tan(α＋β)＝，令β＝α，得tan 2α＝.
【预习评价】
1．计算1－2sin215°的结果为(　　)
A. B.
C. D．1
答案　C
2．sin 105°cos 105°的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
知识点2　二倍角公式的变形
1．公式的逆用
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos2α－sin2α＝cos_2α，＝tan 2α.
2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式：
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2，降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
【预习评价】
1．已知cos x＝，则cos 2x＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　cos 2x＝2cos2x－1＝2·－1＝，故选D.
答案　D
2.的值是(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
答案　B
题型一　化简求值
【例1】　求下列各式的值．
(1)sincos；
(2)1－2sin2750°；
(3)；
(4)－.
解　(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝
＝＝4.
规律方法　在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用(1)正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知．(3)公式的变形应用．
【训练1】　求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 36°；(2)＋.
解　(1)cos 72°cos 36°＝＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝＝4.
【例2】　(1)已知sin 2α＝－，α∈，则sin α＋cos α＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
(2)已知sin＝，则sin 2x的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　(1)∵α∈，∴sin α＋cos α＞0.
∴sin α＋cos α＝＝＝.故选A.
(2)sin 2x＝cos＝1－2sin2＝1－＝.
答案　(1)A　(2)D
【迁移1】　若(1)中α∈，求sin α＋cos α的值．
解　因为α∈，
所以sin α＋cos α＜0
(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝，
所以sin α＋cos α＝－.
【迁移2】　在(1)中的条件下求tan α的值．
解　因为sin 2α＝2sin αcos α
＝＝－，
故＝－，
解得tan α＝－或－，
因为α∈，tan α＞－1，
故tan α＝－.
规律方法　1.从角的关系寻找突破口，这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
2．当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x＝sin＝2sin·cos.类似这样的变换还有：cos 2x＝sin＝2sincos，
sin 2x＝cos＝2cos2－1.
题型三　三角函数式的化简或证明
【例3】　化简：(1)；
(2).
解　(1)原式＝
＝
＝
＝＝2.
(2)原式＝
＝
＝＝＝1.
规律方法　被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的．若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简．
【训练2】　化简下列各式：
(1)×；
(2)；
(3)－.
解　(1)原式＝×＝tan 2α.
(2)原式＝＝＝.
(3)原式＝＝＝tan 2θ.
课堂达标
1．sin4－cos4等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　原式＝·
＝－＝－cos ＝－.
答案　B
2．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.
答案　A
3．若tan α＝2，则tan 2α＝________.
解析　tan 2α＝＝＝－.
答案　－
4．已知cos＝，则sin 2x＝________.
解析　sin 2x＝cos＝cos
＝cos 2[(x－)]＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
答案　－
5．求值：.
解　∵sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°，
∴
＝＝.
课堂小结
1．对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意以下变形式2α，2α－，α－等之间关系的应用．
3．式中出现，时，往往采用倍角公式去掉根号，但要注意去掉根号后的符号.
基础过关
1．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是(　　)
A．－1 B．－
C. D．1
解析　f(x)＝sin 2x∈.
答案　B
2．已知x∈(－，0)，cos x＝，则tan 2x等于(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　cos x＝，x∈(－，0)，得sin x＝－，
所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D.
答案　D
3．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　因为cos2＝
＝＝，
所以cos2＝＝＝，选A.
答案　A
4．2sin222.5°－1＝________.
解析　原式＝－cos 45°＝－.
答案　－
5．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.
解析　原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝.
答案　
6．已知sin α＝cos 2α，α∈，求sin 2α的值．
解　∵sin α＝1－2sin2α，即2sin2α＋sin α－1＝0，
∴sin α＝－1或sin α＝.
又∵α∈，
∴sin α＝，α＝.
∴cos α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
7．已知角α在第一象限且cos α＝，求的值．
解　∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝
＝＝.
能力提升
8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α，
∵cos α＝，0＜α＜π，
∴sin α＝.
∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝.
答案　A
9．已知f(x)＝2tan x－，则f的值为(　　)
A．4 B.
C．4 D．8
解析　∵f(x)＝＋
＝
＝，
∴f＝＝8.
答案　D
10．已知tan ＝3，则＝______.
解析　＝
＝＝tan ＝3.
答案　3
11．函数f(x)＝cos x－sin2x－cos 2x＋的最大值是______．
解析　∵f(x)＝cos x－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋
＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋2.
∴当cos x＝时，f(x)max＝2.
答案　2
12．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，)，求α.
解　∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，
∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈(0，)，∴2cos2α>0.
∴2sin2α＋sin α－1＝0.
∴sin α＝(sin α＝－1舍)．∴α＝.
13．(选做题)设函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1(ω＞0)，且以2π为最小正周期．
(1)求f(x)的解析式，并求当x∈时，f(x)的取值范围；
(2)若f＝，求cos x的值．
解　(1)f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝2sin
∵T＝＝＝2π，
∴ω＝.
∴f(x)＝2sin，
当x∈时，x＋∈，f(x)∈［，2］.
(2)f＝2sin＝，
sin x＝，∴cos x＝±＝±.