第3章-3-2 二倍角的三角函数(二)学案

§3　二倍角的三角函数(二)
内容要求　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法(重点).2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点)．
知识点　半角公式
(1)S：sin ＝± ；
(2)C：cos ＝± ；
(3)T：tan ＝± (无理形式)＝＝(有理形式)．
【预习评价】
1．若cos α＝，且α∈(0，π)，则sin的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案　B
2．已知cos α＝，α∈，则cos的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　B
题型一　应用半角公式求值
【例1】　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan .
解　sin ＝± ＝± ＝±，
cos ＝± ＝± ＝±，
tan ＝± ＝±＝±.
∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．
当为第二象限角时，
sin＝，cos＝－，tan＝－；
当为第四象限角时，
sin＝－，cos＝，tan＝－.
规律方法　在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan ，还要注意运用公式tan ＝＝来求值．
【训练1】　已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan .
解　∵sin θ＝，<θ<3π，
∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1得cos2＝＝.
∵<<π.
∴cos ＝－ ＝－.
tan ＝＝＝＝2.
题型二　利用半角公式化简
【例2】　化简.
解　∵＜α＜2π，∴＜＜π，
∴原式
＝
＝
＝cos2－sin2＝cos α.
规律方法　对于三角函数式的化简有下面的要求：
(1)能求出值的应求出值；
(2)使三角函数种数尽量少；
(3)使三角函数式中的项数尽量少；
(4)尽量使分母不含有三角函数；
(5)尽量使被开方数不含三角函数．
【训练2】　化简：，α∈.
解　∵α∈，∴cos α＞0，则由半角公式得＝cos α，∴原式＝.又∈，∴sin＞0，从而＝sin，
即原式＝sin.
方向1　三角恒等式的证明
【例3－1】　证明：··＝tan .
证明　左边＝··
＝·＝·
＝＝
＝tan ＝右边．
所以原等式成立．
方向2　三角恒等变形的综合应用
【例3－2】　已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
(1)解　f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明　由(1)知f(x)＝sin .
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝－，
即x＝－时，f(x)取得最小值－.
∴f(x)≥－得证．
方向3　三角函数的实际应用
【例3－3】　如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝α，当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？求出这个最大面积．
解　在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α.
在Rt△OAD中，OA＝AD＝BC＝sin α，
∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AB·BC＝(cos α－sin α)sin α
＝cos αsin α－sin2α
＝sin 2α－
＝－
＝sin－.
由0＜α＜，得＜2α＋＜.
∴当2α＋＝，
即α＝时，S最大＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
规律方法　1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．
2．解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.
课堂达标
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)
A. B．－
C．± D．±
解析　由题意知∈(0，)，∴cos >0，cos ＝＝.
答案　A
2．函数f(x)＝2sin sin的最大值等于(　　)
A. B.
C．1 D．2
解析　∵f(x)＝2sin 
＝sin x－sin2＝sin x－
＝sin x＋cos x－
＝sin－.
∴f(x)max＝.
答案　A
3．计算：＝________.
解析　原式＝＝＝－4.
答案　－4
4．设5π＜θ＜6π，cos＝，则sin＝________.
解析　∵＜＜，∴sin＜0.
∴sin＝－＝－＝－.
答案　－
5．已知π<α<，化简＋
.
解　原式＝
＋，
∵π<α<，∴<<，
∴cos <0，sin >0.
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos .
课堂小结
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝).
基础过关
1．下列各式与tan α相等的是(　　)
A.  B.
C. D.
解析　＝＝＝tan α.
答案　D
2．已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　)
A．－  B. 
C．－  D. 
答案　C
3．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin.
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.
答案　D
4．已知sin－cos＝－，且α∈(，3π)，则tan＝________.
解析　由条件知∈(，)，
∴tan＞0.由sin－cos＝－，
∴1－sin α＝.∴sin α＝，cos α＝－，tan＝＝2.
答案　2
5．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．
解析　∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，
∴T＝＝π.
答案　π
6．已知≤α＜π，且cos＝，求cos 2α及sin 2α的值．
解　因为≤α＜，
所以≤α＋＜，
又因为cos＝＞0，
所以＜α＋＜，
所以sin＝－
＝－.
因为sin＝(sin α＋cos α)，
cos＝(cos α－sin α)，
所以sin α＋cos α＝－，cos α－sin α＝.
因此cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－.
sin 2α＝2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－(sin2α＋cos2α)＝－1＝.
7．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．
解　f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)
＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60°
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)
＝ sin(x＋20°＋φ)
＝7sin
其中cos φ＝，sin φ＝.
所以f(x)max＝7.
能力提升
8．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)
A．cC．a解析　a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
y＝sin x在[0°，90°]上是递增的．
∴a答案　C
9．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)
A．－ B.
C．2 D．－2
解析　∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－.
∴＝＝
＝·
＝＝＝－.
答案　A
10．若f(x)＝cos 2x－2a(1＋cos x)的最小值为－，则a＝________.
解析　f(x)＝cos 2x－2acos x－2a＝2cos2x－2acos x－2a－1，令t＝cos x．则
－1≤t≤1，函数f(x)可转化为y＝2t2－2at－2a－1＝22－－2a－1，
当＞1，即a＞2时，当t＝1时，ymin＝2－2a－2a－1＝－，解得a＝，不符合a＞2，舍去；
当＜－1，即a＜－2时，当t＝－1时，ymin＝2＋2a－2a－1＝1≠－，不符合题意，舍去；
当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当t＝时，ymin＝－－2a－1＝－，
解得a＝－2±，
因为－2≤a≤2，所以a＝－2＋.
综上所述，a＝－2＋.
答案　－2＋
11．函数f(x)＝－2sin2x＋sin 2x＋1，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；
②直线x＝是函数图像的一条对称轴；
③函数f(x)的图像可由函数y＝sin2x的图像向左平移而得到；
④若x∈，则f(x)的值域是[0，]．
其中正确命题序号是________．
解　f(x)＝－2sin2x＋sin 2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
f(x)在[，π]上是减函数，①正确．
当x＝时，f(x)取最大值，故②正确，
y＝sin 2x向左平移个单位长度可得f(x)的图像，故③错．
当x∈时，2x＋∈，则f(x)∈[－1，]，故④错．
答案　①②
12．已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解　(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．
又f＝－1，f＝，f＝1，
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
13．(选做题)函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B，C为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．
解　(1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋sin ωx＝2sin，
又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，
所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.
函数f(x)的值域为[－2，2]．
(2)因为f(x0)＝，
由(1)有f(x0)＝2sin＝，
即sin＝.由x0∈，知＋∈，
所以cos＝＝.
故f(x0＋1)＝2sin
＝2sin
＝2
＝2×＝.