14.1.2 直角三角形的判定 同步练习（解析版）

初中数学华师大版八年级上学期 第14章 14.1.2 直角三角形的判定
一、单选题
1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（?? ）
A.?1，2，3???????????????????????????B.?2，3，4???????????????????????????C.?3，4，6???????????????????????????D.?1， ，2
2.若三角形的三边长为下列各组数：①5，12，13；②11，12，15；③9，40，41；④15，20，25，则其中直角三角形有（　　）个 21cnjy.com
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
3.已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(???? )
A.?锐角三角形???????????????????????B.?直角三角形???????????????????????C.?钝角三角形???????????????????????D.?等腰三角形
4.如图，在边长为1的正方形组成的网格图中标有 、 、 、 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（?? ） 21·cn·jy·com
A.?， ， ?????????B.?， ， ?????????C.?， ， ?????????D.?， ，
二、解答题
5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.
6.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13.求证：BD⊥CB.
7.在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．请你画出三个不同的直角三角形，并直接在网格下方写出其周长． 【来源：21·世纪·教育·网】

8.如图所示的一块地,AD=8 m,CD=6 m,∠ADC=90°,AB=26 m,BC=24 m.求这块地的面积.
9.如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长是多少？
三、综合题
10.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5.
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求CD的长
11.如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，AD= ?
（1）求CD、BD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形
答案解析部分
一、单选题
1. D
解：A、12+22=5≠32 ， 故不符合题意；
B、22+32=13≠42 ， 故不符合题意；
C、32+42=25≠62 ， 故不符合题意；
D、12+ =4=22 ， 符合题意.
故答案为：D. 【分析】根据勾股定理的逆定理，分别判断得到答案即可。
2. C
①∵52+122＝169＝132 ， ∴能组成直角三角形，不符合题意；②∵112+122＝265≠152＝225，∴不能组成直角三角形，不符合题意；③92+402＝1681＝412 ， ∴能组成直角三角形，不符合题意；④152+202＝625＝252 ， ∴能组成直角三角形，不符合题意． 21·世纪*教育网
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：a2+2b=c2,则这个三角形是直角三角形；据此作出判断即可.
3. B
如图所示，
AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2 ，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故答案为：B． 【分析】如图所示，根据作图可得AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，从而求出AB的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.21世纪教育网版权所有
4. D
解：设小正方形的边长为1，
则 ,
?
因为
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH。
故答案为：D。
【分析】利用方格纸的特点，由勾股定理分别算出 2、 2、 2 、 2，通过观察即可得出， 然后利用勾股定理的逆定理判断出AB、EF、GH三条线段能围城直角三角形。
二、解答题
5. 证明：作AE⊥BC于E，如图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
在△ABC中，AB=AC，BE=CE。
由勾股定理可得：
AD2=AE2+DE2
BD2+CD2=(BE+ED)2+(CE-DE)2=BE2+CE2+2DE2 ， 2AD2=BD2+CD2.2·1·c·n·j·y
2AE2+2DE2=BE2+CE2+2DE2
2AE2=BE2+CE2 ， AE=BE=CE.
△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，
∠BAE=∠CAE=45°，∠BAC=90°，
△ABC是直角三角形.
【分析】先把AD2的表达式表示出来，由此联想到勾股定理。为此构造直角三角形，作BC边上的高， AD2=AE2+DE2 ，再由勾股定理把BD2和CD2表示出来，比较2AD2与BD2和CD2之和，最后得到AE=BE=CE，据此判断△ABC是直角三角形。www-2-1-cnjy-com
6. 解：∵∠A=90°，AB=3，AD=4，
∴BD= ，
在△BCD中，
BD2+BC2=25+144=169=CD2 ，
∴∠DBC=90°
∴BD⊥CB
【分析】在Rt △ABD中，利用勾股定理算出BD的长， 在△BCD中 ，利用勾股定理的逆定理判断出 ∠DBC=90° ，即 BD⊥CB 。2-1-c-n-j-y
7. 解：三角形如图所示

如图1，三角形的周长＝2 + ；
如图2，三角形的周长＝4 +2 ；
如图3，三角形的周长＝5 + ；
如图4，三角形的周长＝3 + ．
【分析】根据勾股定理的逆定理： 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形可画出相应图形；再利用勾股定理可求出各边长，从而可求出其周长。
8. 解:连接AC,则△ADC为直角三角形,
因为AD=8,CD=6,
所以AC=10.
在△ABC中,AC=10,BC=24,AB=26.
因为102+242=262,
所以△ABC也是直角三角形.
所以这块地的面积为S=S△ABC-S△ADC= AC·BC- AD·CD= ×10×24- ×8×6=120-24=96 m2.
所以这块地的面积为96 m2 .
故答案为：96 m2
【分析】 先连接AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求AC，进而求出AC 2 +BC 2 =AB 2 ， 利用勾股定理逆定理可证△ABC是直角三角形，再利用S 四边形ABCD =S △ABC -S △ACD ， 即可求地的面积．www.21-cn-jy.com
9. 解：在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，
由勾股定理得：AC＝ ＝5，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，由勾股定理得：AB＝ ＝4.
故AB的长是4.
【分析】 在Rt△ACD中 ，利用勾股定理算出AC的长，进而 在Rt△ABC中 利用勾股定理即可算出AB的长。21教育网
三、综合题
10. （1）证明：∵122=144，52=25，132=169
∴52+122=132
即BD2+AD2=AB2
∴△ABD是直角三角形
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC
（2）解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
在RT△ADC中
CD2=AC2-AD2
CD=
CD=9
∴CD的长为9
解：（2） ∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
在Rt△ADC中
CD2=AC2-AD2
CD=
CD=9
∴CD的长为9
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的三边满足较小两边的平方和等于最大的边的平方，故 △ABD是直角三角形 ，且 ∠ADB=90° 从而得出结论: AD⊥BC ; （2） 在Rt△ADC中，利用勾股定理即可算出CD的长。21*cnjy*com
11. （1）解：在Rt△ACD中，CD= ;
在Rt△BCD中，BD=
（2）证明：AB=AD+BD= ，
∵AC2+BC2=42+32=25，
AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2 ，
∴△ABC是直角三角形．
【分析】（1） 在Rt△ACD中 ，利用勾股定理算出CD， 在Rt△BCD中 利用勾股定理算出BD； （2）由 AC2+BC2=AB2 ， 利用勾股定理的逆定理，即可判断出 △ABC是直角三角形 ，且∠ACB=90°。