期中数学试卷
参考答案
一、选择题
1．C．2． B．3．A．4．C．5．B．6．B．7．B．8．D．9．B 10．D
二、填空题
11．． 12．10米 13．6．
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1﹣k2＝ 2 ．
【解答】解：设点A坐标为（a，b）
则ab＝k1
∴S△AOP＝
同理
S△BOP＝
∵S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP＝
∴k1﹣k2＝2
故答案为：2
三、解答题
15．a的值是1，b的值是﹣2．
16．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为0（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式．
【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．
把P（2，2）代入，得2＝4a，
解得a＝．
故原抛物线解析式是：y＝x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．
把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．
解得b＝0（舍去）或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．
四、
解：过点C作CM∥AB，
∵CD=BC，CM∥AB，
∴CMBF，
∵AB中点F，
∴AF=BF，
∴CMAF，
∴△AFE∽△CME，
∴==，
∴=．
18．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是
【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴＝；
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长＝+3+＝．
故答案为．
五、
19．如图是反比例函数y＝的图象，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．
解：（1）∵在反比例函数的图象中，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1，
∴反比例函数经过坐标（﹣4，﹣1），
将坐标代入反比例函数y＝中，
得反比例函数的解析式为y＝（2分）；
（2）当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．
将y＝x代入，
解得，
即M（2，2），N（﹣2，﹣2）．
∴OM＝2．
则MN＝4．
又∵M，N为反比例函数图象上的任意两点，
由图象特点知，线段MN无最大值，即MN≥4．
20．17.解答：（1）如图所示，C1（2，－2）；
（2）如图所示，C2（1，0）；
（3）∵A2C22＝20，B2C22＝20，A2B22＝40，
∴A2C22＝B2C22，且A2C22+ B2C22＝A2B22，
∴△△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是××＝10（平方单位）.
六、（本题满分12分）
21．“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x元时，一天的营业额为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）考虑到顾客可接受价格a元/份的范围是6≤a≤9，且a为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？
【解答】解：（1）由题意得：y＝（500﹣×20）（6+x）＝（x+6）（500﹣40x）；
（2）6≤a≤9，即0≤x≤3，
y＝（x+6）（500﹣40x）＝﹣40（x+6）（x﹣12.5），
函数的对称轴为：x＝6.5，
∵﹣40＜0，函数有最大值，
当x＜6.5时，函数随x的增大而增大，而0≤x≤3，
故x＝3时，y最大，此时，y最大值为：3420，
即每份9元时，营业额最大，最大营业额是3420元．
七、（本题满分12分）
22．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．
解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（0，3），
抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0，3），则a+4＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作MH⊥x轴于点H，
设点M（m，﹣m2+2m+3），
则S＝S梯形BOHM﹣S△OAB﹣S△AMH＝（﹣m2+2m+3）×m﹣[3×1+（m﹣1）（﹣m2+2m+3）]＝﹣m2+m﹣，
∵0，故S有最大值，
当m＝时，S的最大值为：；
（3）当S取得最大值时，此时，m＝，
则y＝﹣m2+2m+3＝，
故点M′的坐标为：（，）．
花沟中心校2019-2020学年九年级数学
第一学期期中试题
本卷满分150分，考试时间120分钟
一.选择题（50分)
1．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
2．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A' 在反比例函数
y＝的图象上，则实数k的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
4．已知二次函数的图象经过原点，则的值为 （ ）A． 0或2 B． 0 C． 2 D．无法确定
5．关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点（﹣1，﹣4） B．当x＜0时，图象在第二象限
C．无论x取何值时，y随x的增大而增大
D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
6．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
7．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
8．正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜0或x＞2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
9．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
AB C D
10．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长( )
A． B． C． D．或
二、填空题（20分）
11．若，则＝ ．
12．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 ．
13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于点O．若S△AOD=4，S△AOB=6，则△COD的面积是 ．
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1﹣k2＝ ．
三、解答题（16分）
15．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
16．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为0（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式．
四、（20分）
17．如图，延长△ABC的边BC到D，使CD=BC，取AB中点F，边DF交AC于E，求的值．
18．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ．
五、（20分）
19．如图是反比例函数y＝的图象，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1．
（1）求该反比例函数的解析式； （2）若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．
20.已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）.
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______________；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______________；
（3）求△A2B2C2的面积是__________平方单位.
六、（本题满分12分）
21．“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x元时，一天的营业额为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）考虑到顾客可接受价格a元/份的范围是6≤a≤9，且a为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？
七、（本题满分12分）
22．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．
