1.1 锐角三角函数 课件
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(共22张PPT)
1.1 锐角三角函数（1）
正切与坡度
数学北师大版 九年级下
学习目标
1.理解并掌握锐角三角函数正切的概念，并进行相关
的计算；（重点、难点）
2.在直角三角形中求正切值. (重点)
如图，三个直角三角形中，探索下列线段比的关系。
C3
C2
C1
A
B1
B2
B3
∟
∟
∟
从这些关系中，你能发现什么？
新课讲解
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？
2、 你有哪些办法？
（1）高度相同，怎么判断哪个梯子陡？
2.5m
2m
5m
5m
A
B
C
D
E
F
新课讲解
高度相同，用梯子的低端离墙的远近来判断水平距离越短，倾斜角越大，梯子越陡.
更陡
（1）
（2）
（2）水平距离相同，怎么判断哪个梯子陡？
2m
2m
3m
5m
A
B
C
D
E
F
新课讲解
水平距离相同，用梯子的放在墙上的高低来判断： 梯子越高，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
更陡
（1）
（2）
如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度；
而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗?
A
B1
C2
C1
B2
新课讲解
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3 ）呢?
由此你得出什么结论?
A
B1
C2
C1
B2
C3
B3
新课讲解
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
（2） 和 有什么关系？
新课讲解
结论：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值
是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
A
B
C
∠A的邻边
┌
∠A的对边
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
正切函数的概念
新课讲解
定义中应该注意的几个问题:
1. tan A 是一个完整的符号，它表示 ∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．
2.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.
新课讲解
观察 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
2.5m
2m
5m
5m
A
B
C
D
E
F
新课讲解
=
=
AB更陡.
结论：
tan A的值越大，梯子越陡.
【例1】下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
解:甲梯中,tan α=
乙梯中,tanβ=
∵tanα＞tanβ，
∴甲梯更陡.
β
5m
┌
乙
13m
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
新课讲解
α
4m
┐
甲
8m
新课讲解
A
B
C
┌
思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；
可以大于1，当锐角的对边比邻边长的时候.
正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i (即tanα)就是:
坡面与水平面的夹角(α)称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比)，即坡度等于坡角的正切.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
100m
60m
┌
α
i
新课讲解
坡度、坡角
【例2】如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
A
B
C
┌
解：i=tan A=
新课讲解
课堂练习
1．如图所示，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为5米，引桥的距离AB的长是 13 米，则引桥的坡度为_______．
（结果精确到 0.01）
0.42
课堂练习
2.如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，若 AC＝23 ，AB＝32 ，求 tan∠BCD 的值．
根据同角的余角相等，∠BCD＝∠A
由勾股定理知，c2＝a2＋b2，
【答案】
∴tan∠BCD＝tan∠A＝ ＝
课堂总结
1.正切函数概念及计算公式.
2.正切函数的大小只与∠A（锐角）的大小有关，与直角边长无关.
3.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等.
4.正切也经常用来描述山坡的坡度.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，tanA= ，
求边AC和BC.
1.在等△ABC，AB=AC=13，BC=10，
求tanB的值.
老师提示:
过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的.
作业布置
谢谢
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1.1 锐角三角函数（1）
正切与坡度
数学北师大版 九年级下
学习目标
1.理解并掌握锐角三角函数正切的概念，并进行相关
的计算；（重点、难点）
2.在直角三角形中求正切值. (重点)
如图，三个直角三角形中，探索下列线段比的关系。
C3
C2
C1
A
B1
B2
B3
∟
∟
∟
从这些关系中，你能发现什么？
新课讲解
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？
2、 你有哪些办法？
（1）高度相同，怎么判断哪个梯子陡？
2.5m
2m
5m
5m
A
B
C
D
E
F
新课讲解
高度相同，用梯子的低端离墙的远近来判断水平距离越短，倾斜角越大，梯子越陡.
更陡
（1）
（2）
（2）水平距离相同，怎么判断哪个梯子陡？
2m
2m
3m
5m
A
B
C
D
E
F
新课讲解
水平距离相同，用梯子的放在墙上的高低来判断： 梯子越高，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
更陡
（1）
（2）
如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度；
而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗?
A
B1
C2
C1
B2
新课讲解
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3 ）呢?
由此你得出什么结论?
A
B1
C2
C1
B2
C3
B3
新课讲解
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
（2） 和 有什么关系？
新课讲解
结论：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值
是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
A
B
C
∠A的邻边
┌
∠A的对边
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
正切函数的概念
新课讲解
定义中应该注意的几个问题:
1. tan A 是一个完整的符号，它表示 ∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．
2.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.
新课讲解
观察 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
2.5m
2m
5m
5m
A
B
C
D
E
F
新课讲解
=
=
AB更陡.
结论：
tan A的值越大，梯子越陡.
【例1】下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
解:甲梯中,tan α=
乙梯中,tanβ=
∵tanα＞tanβ，
∴甲梯更陡.
β
5m
┌
乙
13m
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
新课讲解
α
4m
┐
甲
8m
新课讲解
A
B
C
┌
思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；
可以大于1，当锐角的对边比邻边长的时候.
正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i (即tanα)就是:
坡面与水平面的夹角(α)称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比)，即坡度等于坡角的正切.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
100m
60m
┌
α
i
新课讲解
坡度、坡角
【例2】如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
A
B
C
┌
解：i=tan A=
新课讲解
课堂练习
1．如图所示，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为5米，引桥的距离AB的长是 13 米，则引桥的坡度为_______．
（结果精确到 0.01）
0.42
课堂练习
2.如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，若 AC＝23 ，AB＝32 ，求 tan∠BCD 的值．
根据同角的余角相等，∠BCD＝∠A
由勾股定理知，c2＝a2＋b2，
【答案】
∴tan∠BCD＝tan∠A＝ ＝
课堂总结
1.正切函数概念及计算公式.
2.正切函数的大小只与∠A（锐角）的大小有关，与直角边长无关.
3.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等.
4.正切也经常用来描述山坡的坡度.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，tanA= ，
求边AC和BC.
1.在等△ABC，AB=AC=13，BC=10，
求tanB的值.
老师提示:
过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的.
作业布置
谢谢
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