湘教版八年级数学上册第5章 二次根式5.1 二次根式教学课件（共40张）

(共40张PPT)

二次根式
教学课件
湘教版八年级上册
01 新课导入
目录
03 典型例题
02 新知探究
04 拓展提高
05 课堂小结
06 作业布置
01 新课导入

新课导入
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t
（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．
根据前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作 ，那么形如 的式子在数学上被称为什么呢？它又有什么特殊的要求呢？接下来让我们探究它的与众不同。
02 新知探究

新知探究
二次根式的概念及有意义的条件

一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，根号下的数叫作被开方数 .“ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征

①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0

新知探究
练一练

1.下列各式是二次根式吗?
（x,y异号）
是
不是
不是
不是
不是
是
不是
不含二次根号
被开方数是负数
当m>0时被开方数是负数
xy＜0
非负数+正数恒大于零
根指数是3

新知探究
练一练

2.当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
想一想：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.

新知探究
小归纳

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的
条件：

新知探究
小归纳

(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.

新知探究
练一练

3. (1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
x ≥1
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是___________.
x ≥0且x≠2

新知探究
二次根式的双重非负性

思考1：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
思考2：二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.

新知探究
小归纳

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负

二次根式的双重非负性

新知探究

练一练
1. 若 ，求a -b+c的值.
解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.



归纳

新知探究
二次方根的性质

的性质：
一般地， ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.

新知探究
练一练

2. 计算：
解：
积的乘方：
（ab）2=a2b2
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？

新知探究

二次方根的性质
的性质：
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

新知探究
练一练

3. 化简：
解：
，而3.14＜π，要注意a的正负性.


注意

新知探究
小归纳

如何区别 与 ？





从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
意义
先开方,后平方
a≥0
a
表示一个非负数a的算术平方根的平方
先平方，后开方
a取任何实数
|a|
表示一个实数a的平方的算术平方根

新知探究
练一练

4. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
a
b
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.

新知探究
二次根式的化简

当a≥0，b≥0时，由于
积的算术平方根等于算术平方根的积
小归纳
（a≥0，b≥0）
，
因此

新知探究
练一练

5.化简下列二次根式．
解：
化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.

新知探究
小归纳

今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.
（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数).

新知探究
最简二次根式

从前面的例题可以看出，这些式子的最后结果，
具有以下特点：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2） 被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.

新知探究
想一想

(m>0)是最简二次根式吗?如果不是，你能把它化简吗？
解: 不是最简二次根式. 它含有能开方的因式 m2 .
03 典型例题


例题讲解
1. 已知y= ,求 3x+2y 的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．


例题讲解
2.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.


例题讲解
3.请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×
×
√
√


例题讲解
4. 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，a+b＞c
两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．


例题讲解
5.化简下列二次根式．
解：
04 拓展提高

拓展提高
1.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足
，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．

拓展提高
2. 化简：
解：
05 课堂小结



课堂小结
二次根式
性质

二次根式的概念
二次根式的表示
二次根式有意义的条件



应用
被开方数 ≥0
→


课堂小结

积的算术平方根
→

（1）被开方数中不含开的尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母
↓
化简
→
最简二次根式
→
06 作业布置
完成课本习题 5.1 A、B组

作业布置
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