1.1.1 任意角学案

§1.1　任意角和弧度制
1.1.1　任意角
内容要求　1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念(重点).3.掌握终边相同的角的表示(重、难点)．
知识点1　任意角的概念
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2．角的表示
顶点：用O表示；
始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置．
终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．
3．角的分类
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)经过1小时，时针转过30°.(　　)
(2)终边与始边重合的角是零角．(　　)
(3)小于90°的角是锐角．(　　)
提示　(1)×，因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°．
(2)×，终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．
(3)×，锐角是指大于0°且小于90°的角．
知识点2　象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
【预习评价】
思考　锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
提示　锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
知识点3　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
【预习评价】
与－457°角的终边相同的角的集合是(　　)
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析　由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
答案　C
题型一　与任意角有关的概念辨析
【例1】　(1)下列说法中，正确的是________(填序号)．
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称．
解析　终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．
答案　②⑤
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________．
解析　∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，
β＝－(760°－720°)＝－40°．
答案　－40°
规律方法　判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．
【训练1】　写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．
解　题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°．
题型二　终边相同的角的表示及应用
【例2】　写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
解　直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．
∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°．
规律方法　解答本题关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．
【训练2】　写出终边落在x轴上的角的集合S．
解　S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
典例
迁移
　题型三　象限角和区域角的表示
【例3】　(1)－2 017°是第________象限角．
解析　－2 017°＝－6×360°＋143°，143°是第二象限角，所以－2017°为第二象限角．
答案　二
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
【迁移1】　若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解　在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
【迁移2】　若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解　由题干图可知满足题意的角的集合为
{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．
规律方法　表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
课堂达标
1．下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
解析　A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；
C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．
答案　D
2．－378°是第________象限角(　　)
A．一 B．二
C．三 D．四
解析　－378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．
答案　D
3．把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________．
解析　－936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°．
答案　144°＋(－3)×360°
4．终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________．
解析　由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}．
答案　{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
5．已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解　(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
课堂小结
1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角．
2．“锐角”，“0°～90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是0°<α<90°；0°～90°的角是0°≤α<90°；小于90°的角为α<90°；第一象限的角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．
3．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角;(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α);
(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍;(4)k∈Z这一条件不能少．
基础过关
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．第二象限的角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限的角
C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
解析　A错，495°＝135°＋360°是第二象限的角，但不是钝角；
B错，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β；
C错，α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；
D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．
答案　D
2．在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是(　　)
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
解析　②480°＝120°＋360°是第二象限的角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限的角；
④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限的角，故选C．
答案　C
3．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析　可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
答案　C
4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________．
解析　∵30°与150°的终边关于y轴对称，
∴β的终边与150°角的终边相同．
∴β＝150°＋k·360°，k∈Z．
答案　150°＋k·360°，k∈Z
5．12点过小时的时候，时钟分针与时针的夹角是________．
解析　时钟上每个大刻度为30°，12点过小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°．
答案　82.5°
6．如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
解　终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合是S＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，
于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
7．已知角α＝2 010°．
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°．
解　(1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°．
∴取k＝5，β＝210°，
α＝5×360°＋210°．
又β＝210°是第三象限角，
∴α为第三象限角．
(2)与2 010°终边相同的角为
k·360°＋2 010°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)．
所以k＝－6，－5，－4．
将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°．
能力提升
8．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是(　　)
A．A＝B＝C B．A＝B∩C
C．A∪B＝C D．A?B?C
解析　由题意知集合A是终边在x轴的非负半轴上的角的集合，集合B是终边在x轴上的角的集合，集合C是终边在坐标轴上的角的集合，故A?B?C．
答案　D
9．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　)
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
解析　方法一　(特值法)：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°．
方法二　(直接法)：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z．
答案　B
10．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝________________．
解析　当k＝－1时，α＝－126°；
当k＝0时，α＝－36°；
当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°．
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案　{－126°，－36°，54°，144°}
11．若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为________．
解析　由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，
则＝20°＋k·120°(k∈Z)，
则当k＝0,1,2时，＝20°，140°，260°．
答案　20°，140°，260°
12．写出如图所示阴影部分的角α的范围．
解　(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同
的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式．所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)同理可表示图(2)中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
13．(选做题)如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ．
解　∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ则一定有k＝0，于是90°<θ<135°．
又∵14θ＝n·360°(n∈Z)，
∴θ＝，从而90°<<135°，
∴当n＝4时，θ＝；当n＝5时，θ＝．