1.1.2 弧度制学案

1.1.2　弧度制
内容要求　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换(重点).2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式(重、难点)．
知识点1　弧度制
1．度量角的两种制度
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的为1度的角，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度
的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad
2．弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个正数．
(2)负角：负角的弧度数是一个负数．
(3)零角：零角的弧度数是0．
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝．
3．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π_rad
2π rad＝360°
180°＝π_rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝()°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×()°＝度数
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(　　)
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(　　)
(3)160°化为弧度制是π rad.(　　)
提示　(1)×，1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角．
(2)√，“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
(3)√，160°＝160× rad＝π rad．
知识点2　扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝　
l＝α·R　
扇形的面积
S＝　
S＝l·R　＝α·R2　
【预习评价】
圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是________．
解析　因为15°＝，所以面积S＝αR2＝××36＝π(cm2)．
答案　π(cm2)
题型一　角度与弧度的互化及应用
【例1】　将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π．
解　(1)20°＝20×＝；
(2)－800°＝－800×＝－π；
(3)＝(×)°＝105°；
(4)－π＝－(π×)°＝－144°．
规律方法　角度制与弧度制互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝()°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·()°；n°＝n·．
【训练1】　(1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度．
解　(1)112°30′＝()°＝×＝．
(2)－＝－×()°＝－75°．
题型二　用弧度制表示角的集合
【例2】　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
解　(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{α|－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
规律方法　根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
【训练2】　已知角α＝2 010°．
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π．
题型三　扇形的弧长公式及面积公式的应用
【例3】　已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
解　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r．
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－2＋．
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝.此时，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为．
规律方法　扇形弧长、面积问题的解决方法
(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：
一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．
(2)解决此类题目要首先分析已知哪些量，要求哪些量，然后灵活运用公式求解．
提醒：当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于R的二次函数，但要注意R的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0【训练3】　已知扇形AOB的周长为10 cm．
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．
解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
(1)依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4．
当r＝1时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2 cm，此时，θ＝＝ rad．
(2)由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2
＝－(r－)2＋(0当r＝时，S取得最大值，
这时l＝10－2×＝5，
∴θ＝＝＝2 rad．
课堂达标
1．下列命题中，假命题是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D．
答案　D
2．2 340°转化为弧度为(　　)
A．π B．13π
C． D．13
解析　2 340×＝13π，选B．
答案　B
3．已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为(　　)
A． B．
C． D．
解析　由S＝|α|r2得＝×α×12，所以α＝．
答案　C
4．若θ＝－5，则角θ的终边在(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
解析　2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈(0，)，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．
答案　D
5．已知α＝1 690°．
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
解　(1)1 690°＝1 440°＋250°
＝4×360°＋250°＝4×2π＋π．
(2)∵θ与α终边相同，
∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π，
∴－∴k＝－2，－1,0,1．
∴θ的值是－π，－π，π，π．
课堂小结
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
基础过关
1．下列各命题中，真命题是(　　)
A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度等于半径的弧
C．1弧度是1°的弧与1°的角之和
D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角
解析　根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误，D正确．
答案　D
2．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－8π B．π－8π
C．－10π D．π－10π
解析　－1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－10π，选D．
答案　D
3．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(　　)
A．扇形的圆心角大小不变
B．扇形的圆心角增大到原来的2倍
C．扇形的圆心角增大到原来的4倍
D．扇形的圆心角减小到原来的一半
解析　设扇形原来的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则变化后半径为2r，弧长为2l，圆心角为β，∴α＝，β＝＝＝α，即扇形的圆心角大小不变．
答案　A
4．若α∈(0，π)，且α与角－终边相同，则α＝________．
解析　－＝－2π＋，故α＝．
答案　
5．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________．
解析　设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则解得α＝＋，β＝－．
答案　＋，－
6．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
解　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
．
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为．
(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为．
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为．
7．把下列角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式：
(1)；(2)－315°．
解　(1)∵0≤＜2π，∴＝4π＋．
(2)∵－315°＝－315×＝－＝－2π＋，
∵0≤＜2π，∴－315°＝－2π＋．
能力提升
8．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)
A．－π B．－2π
C．π D．－π
解析　∵－π＝－2π＋
＝2×(－1)π＋，或－＝－4π＋，且|－|<||，∴θ＝－π．
答案　A
9．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是(　　)
A．(2－sin 1 cos 1)R2 B．R2sin 1cos 1
C．R2 D．(1－sin 1cos 1)R2
解析　∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2．
∵S弓形＝S扇形－S△
＝αR2－(2Rsin )·(Rcos )
＝×2×R2－R2sin 1·cos 1＝R2(1－sin 1cos 1)．
答案　D
10．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________．
解析　如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
答案　[－4，－π]∪[0，π]
11．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______　．
解析　∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，
当k＝－1时，－＜α＜－π，
当k＝0时，＜α≤2，
当k为其他整数时，满足条件的角α不存在．
答案　(－，－π)∪(，2]
12．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R．
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是30 cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10(cm)，
∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin×10×cos＝50 (cm2)．
(2)由l＋2R＝30，∴l＝30－2R，
从而S＝·l·R＝(30－2R)·R
＝－R2＋15R＝－2＋．
∴当半径R＝ cm时，l＝30－2×＝15 cm，
扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2 rad．
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2．
13．(选做题)如图，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．
解　AA1所在圆弧的半径是2 dm，圆心角为；A1A2所在圆弧的半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在圆弧的半径是 dm，圆心角为，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π＋×＋××＝(dm2)．