1.2.1 任意角的三角函数(二)学案

1.2.1　任意角的三角函数(二)
内容要求　1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域(重点).2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点).3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)．
知识点1　三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}．
【预习评价】
函数y＝的定义域为________．
解析　由cos x≥0得{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
答案　{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
知识点2　三角函数线
1．相关概念
(1)单位圆：
以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．
(2)有向线段：
带有方向(规定了起点和终点)的线段．
规定：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值．
2．三角函数线
题型一　三角函数线及其作法
【例1】　分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)；(3)－；(4)．
解　作图，如图所示：
图(1)，(2)，(3)，(4)中的MP，OM，AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线．
规律方法　三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT．
【训练1】　(1)作出－的正弦线；(2)作出的正切线．
解　(1)作出－的正弦线MP如图所示．
(2)作出π的正切线AT如图所示．
考查
方向
　题型二　三角函数线的应用
方向1　利用三角函数线比较大小
【例2-1】　利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；(2)tan与tan．
解　如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin＝MP，tan＝AT；
的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin＝M′P′，tan＝AT′，
由图可见，MP>M′P′>0，AT所以(1)sin>sin，(2)tan方向2　利用三角函数线解不等式
【例2-2】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；(2)tan α≥－1．
解　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为
．
(2)在单位圆过点A(1,0)的切线上取AT＝－1，连接OT，OT所在直线与单位圆交于P1，P2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，如图所示，所以α的取值集合是．
规律方法　1.利用三角函数线比较大小的两个注意点
(1)角的终边的位置要找准；
(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
2．利用三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边范围．
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．
(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．
【训练2】　解不等式cos α≤－．
解　作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为．
题型三　求三角函数的定义域
【例3】　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝lg sin x＋．
解　(1)∵要使函数f(x)有意义，
∴sin x·tan x≥0，
∴sin x与tan x同号或sin x·tan x＝0，
故x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角．
∴函数的定义域为{x|2kπ－x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
(2)由题意，要使f(x)有意义，则
由sin x>0得2kπ由9－x2≥0得－3≤x≤3， ②
由①②得：f(x)的定义域为{x|0＜x≤3}．
规律方法　求三角函数定义域的方法
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
【训练3】　求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
解　(1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥．
如图，
∴x∈(k∈Z)．
∴函数的定义域为
．
(2)∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，
∴－∴x∈∪(k∈Z)．
即x∈(k∈Z)．
∴函数的定义域为(k∈Z)．
课堂达标
1．下列四个命题中：
①α一定时 ，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　由三角函数线的定义①③④正确，②不正确．
答案　B
2．如果<α<，那么下列不等式成立的是(　　)
A．cos αC．sin α解析　方法一　(特值法)令α＝，则cos α＝，tan α＝，sin α＝，故cos αtan α．
方法二　如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，则OM答案　A
3．比较大小：sin 1________sin(填“>”或“<”)．
解析　因为0<1<<，结合单位圆中的三角函数线，知sin 1答案　<
4．当x∈[0,2π]时，不等式sin x≥的解集为________．
解析　如图所示，不等式的解集为{x|≤x≤}．
答案　
5．比较sin与tan的大小．
解　的正弦线MP与正切线AT如图所示．
由图易知sin>0，tan<0，∴sin>tan．
基础过关
1．下列说法不正确的是(　　)
A．当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点
B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在
C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D．余弦线和正切线的始点都是原点
解析　根据三角函数线的概念，A，B，C是正确的，只有D不正确，因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上．
答案　D
2．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是(　　)
A． B．
C． D．[0，π]
解析　如图所示，当x＝和x＝－时，sin x＝cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是[－，]．
答案　A
3．函数f(x)＝tan(2x－)的定义域为(　　)
A．{x|x≠＋kπ，k∈Z} B．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
C．{x|x≠＋2kπ，k∈Z} D．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
解析　易知2x－≠＋kπ，，k∈Z，即x≠＋kπ，k∈Z，故f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
答案　A
4．若θ∈(，)，则sin θ的取值范围是________．
解析　如图所示，作出和的正弦线，
可得sin θ∈(－，1)．
答案　(－，1)
5．比较大小：sin 1.2________sin 1.5(填“>”或“<”)．
解析　∵1.2∈(0，)，1.5∈(0，)，正弦线在(0，)内随角α的增大而增大，
∴sin 1.2答案　<
6．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；(2)cos α＝－．
解　(1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP，OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM，ON为角α的终边，如图乙．
7．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
解　由题意，得自变量x应满足不等式组
　即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
即定义域为．
能力提升
8．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　∵π<3<π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b．
sin 3＝a>0，cos 3＝b<0，
所以sin 3－cos 3>0．
因为|MP|<|OM|即|a|<|b|，
所以sin 3＋cos 3＝a＋b<0．
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．
答案　D
9．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，值域为[－5,1]，则函数g(x)＝
abx＋7在[b，a]上(　　)
A．有最大值2 B．有最小值2
C．有最大值1 D．有最小值1
解析　易知2x＋∈[，]，a>0，∴由三角函数线易得f(x)∈[－a＋b,2a＋b]，即解得
∴g(x)＝2－3x＋7，x∈[－3,2]，故当x＝2时，g(x)有最小值2．
答案　B
10．函数f(x)＝的定义域为________．
解析　如图所示．
答案　{ x |kπ－≤ x≤ kπ＋（k∈Z）]
11．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系是________．
解析　由题意1>，在单位圆中作出锐角α＝1的正切线、正弦线、余弦线，可知正切线最长，余弦线最短，所以有cos 1答案　cos 112．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
解　
θ是第二象限角，
即2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，
故kπ＋<作出所在范围如图所示．
当2kπ＋<<2kπ＋(k∈Z)时，
cos 当2kπ＋<<2kπ＋π(k∈Z)时，
sin 13．(选做题)利用三角函数线证明：若0<α<β<，则β－α>sin β－sin α．
证明　如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别为点M，N，则由三角函数线定义可知：
sin α＝NQ，sin β＝MP，过点Q作QH⊥MP于点H，于是MH＝NQ，则HP＝MP－MH＝sin β－sin α．
由图可知HP<＝－＝β－α，
即β－α>sin β－sin α．