1.2.1 任意角的三角函数学案

§1.2　任意角的三角函数
1.2.1　任意角的三角函数(一)
内容要求　1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义(重点).2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同的角的同一三角函数值相等(难点)．
知识点1　三角函数的概念
1．任意角的三角函数的定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x
正切
叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
{α|α∈R且α≠kπ＋，k∈Z}
【预习评价】
已知角α的终边经过点(－，－)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．
解析　因为(－)2＋(－)2＝1，所以点(－，－)在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－，cos α＝－，tan α＝．
答案　－　－　
知识点2　三角函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．
【预习评价】
三角函数在各象限的符号由什么决定？
提示　三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．
知识点3　诱导公式一
1．语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
2．式子表示：
【预习评价】
计算：sin(2π＋)＝________，cos＝________．
解析　sin(2π＋)＝sin＝，cos＝cos(6π＋)＝cos＝．
答案　　
考查
方向
　题型一　任意角的三角函数的定义及应用
方向1　三角函数定义的直接应用
【例1-1】　在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，求tan α．
解　由题意，设点A的坐标为(x，)，所以x2＋()2＝1，
解得x＝或－．
当x＝时，角α在第一象限，tan α＝＝；
当x＝－时，角α在第二象限，tan α＝＝－．
方向2　含参数的三角函数定义问题
【例1-2】　已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
解　r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1．
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝．
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1．
方向3　已知三角函数值求参数值
【例1-3】　已知角α的终边经过点P(5m,12)，且cos α＝－，则m＝________．
解析　cos α＝－<0，则α的终边在第二或三象限，又点P的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m<0，由＝－，解得m＝－1．
答案　－1
规律方法　由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
题型二　三角函数在各象限的符号问题
【例2】　(1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．故选D．
答案　D
(2)判断下列各式的符号：
①tan 191°－cos 191°；②sin 2·cos 3·tan 4．
解　①因为191°是第三象限角；
所以tan 191°>0，cos 191°<0．
所以tan 191°－cos 191°>0．
②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角．
所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0．
所以sin 2·cos 3·tan 4<0．
规律方法　三角函数值符号的判断问题：
(1)由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键．
(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
【训练1】　判断下列三角函数值的符号：
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．
解　(1)∵<3<π<4<<5<2π，
∴3,4,5分别在第二、三、四象限，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0．
(2)∵θ是第二象限角，∴－<－1∴sin(cos θ)<0．
题型三　诱导公式一的应用
【例3】　求下列各式的值：
(1)cos＋tan(－)；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°．
解　(1)原式＝cos(8π＋)＋tan(－4π＋)
＝cos＋tan＝＋1＝；
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°
＝1＋1＋＝．
规律方法　利用诱导公式一化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
【训练2】　求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos·tan 4π．
解　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝．
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝．
课堂达标
1．sinπ等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析　sinπ＝sin(4π＋)＝sin＝．
答案　A
2．若sin α·cos α<0，则α的终边在(　　)
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第一或第四象限 D．第二或第四象限
解析　若sin α>0，cos α<0，则α的终边在第二象限；
若sin α<0，cos α>0，则α的终边在第四象限，故选D．
答案　D
3．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．
解析　易知r＝＝5，所以sin α＝－，cos α＝，故sin α＋cos α＝－．
答案　－
4．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α＝________．
解析　∵cos α＝＝，
∴＝5.∴y2＝16，∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－．
答案　－
5．已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的三角函数值．
解　因为x＝2，y＝－3，
所以r＝＝．
于是sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝－．
课堂小结
1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．
2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等．
基础过关
1．cos 1 110°的值为(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析　cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝．
答案　B
2．若角α的终边上有一点P(0,3)，则下列式子无意义的是(　　)
A．tan α B．sin α
C．cos α D．都有意义
解析　由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝，可知tan α无意义．
答案　A
3．设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则2sin α＋cos α的值为(　　)
A． B．或－
C．－ D．与a有关
解析　∵a<0，∴r＝＝5|a|＝－5a，
∴cos α＝＝，sin α＝＝－，∴2sin α＋cos α＝－．
答案　C
4．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析　因为点P(tan α，cos α)在第三象限，则tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限．
答案　二
5．求值：cos＋tan(－)＝________．
解析　原式＝cos(2π＋)＋tan(2π－)
＝cos＋tan＝＋＝．
答案　
6．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
解　当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－．
所以sin α－3cos α＋tan α
＝－－－＝－．
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，
所以点P′到坐标原点的距离
r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝＝－．
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝．
7．求下列各式的值：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°．
解　(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°+0°)＝
a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝
tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝．
能力提升
8．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于(　　)
A．－ B．
C．－4 D．4
解析　cos α＝＝－，解得m＝－4(m＝4不合题意，舍去)．
答案　C
9．某点从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动π弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
解析　由三角函数定义可得：Q，
cos＝－，sin＝．
答案　A
10．如果角α的终边经过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α＝________．
解析　所给点的坐标为(1，－)，故sin α＝－．
答案　－
11．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．
解析　要使原式有意义，必须cos αtan α>0，
即需cos α，tan α同号，
所以α是第一或第二象限角．
答案　一或二
12．判断下列各式的符号：
(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan；
(3)(θ为第二象限角)．
解　(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°<0，cos 265°<0，
∴sin 340°cos 265°>0．
(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，
∵－＝－6π＋，
∴－是第一象限角．
∴sin 4<0，tan>0，
∴sin 4tan<0．
(3)∵θ为第二象限角，
∴0∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，
∴<0．
13．(选做题)已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sin α的值．
解　(1)∵＝－，
∴sin α<0，①
由lg(cos α)有意义，
∴cos α>0.②
由①②得，角α在第四象限．
(2)∵点M(，m)在单位圆上，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±．
又α是第四象限角，
∴m<0，∴m＝－．
由三角函数定义知，sin α＝－．