1.2.2 同角三角函数的基本关系学案

1.2.2　同角三角函数的基本关系
内容要求　1.理解同角三角函数的基本关系(重点).2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明(难点)．
知识点　同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)．
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α．
(2)tan α＝的变形公式：
sin α＝cos_αtan_α；cos α＝．
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin2＋cos2＝1.(　　)
(3)对任意的角α，都有tan α＝成立．(　　)
提示　(1)×　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1．
(2)√　在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1．
(3)×　当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立．
题型一　利用同角三角函数的基本关系求值
【例1】　(1)若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于(　　)
A． B．－
C． D．－
解析　∵α为第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝．
答案　C
(2)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________．
解析　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈(，π)，
故sin α－cos α＝＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－．
答案　－
规律方法　求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．
【训练1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝ ＝ ＝，
tan α＝＝＝－．
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
互动
探究
　题型二　齐次式的求值问题
【探究1】　已知tan α＝2，求的值．
解　＝＝－．
【探究2】　已知tan α＝2，求．
解　＝＝－．
【探究3】　已知tan α＝2，求的值．
解　＝＝＝．
【探究4】　已知tan α＝2，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值．
解　2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝
＝＝＝．
【探究5】　已知＝，求sin αcos α的值．
解　方法一　由＝得cos α＋2sin α＝15cos α－5sin α，即sin α＝2cos α，
∴sin αcos α＝＝＝．
方法二　由方法一中sin α＝2cos α可得tan α＝2，
∴sin αcos α＝＝＝．
规律方法　已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2 α＋cos2 α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
题型三　三角函数式的化简与证明
【例2】　(1)化简：sin2αtan α＋＋2sin αcos α；
解　原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝.
(2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．
证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.
所以＋1＝2(＋1)，
通分可得＝，
即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1．
规律方法　1.三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直推到结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明．
【训练2】　(1)化简：；
解　原式＝
＝
＝＝＝1．
(2)求证：＝．
证明　∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立．
课堂达标
1．若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　)
A． B．－
C． D．－
解析　由题意可得sin α＝＝，
∴tan α＝＝－．
答案　B
2．已知sin α＝，tan α＝－，则cos α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析　由sin α＝>0，tan α＝－<0，可知α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－．
答案　A
3．化简－的结果是________．
解析　原式＝＝
＝＝－．
答案　－
4．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________．
解析　由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－，故原式＝＝
＝sin α(1＋sin α)＝(－)(1－)＝－．
答案　－
5．已知＝2，计算下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1．
解　由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3．
(1)原式＝＝＝．
(2)原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝．
课堂小结
1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．
基础过关
1．化简的结果是(　　)
A．cos 160° B．±|cos 160°|
C．±cos 160° D．－cos 160°
解析　＝＝|cos 160°|
＝－cos 160°．
答案　D
2．已知sin α－cos α＝－，则sin α·cos α等于(　　)
A． B．－
C．－ D．
解析　因为sin α－cos α＝－，平方可得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，即sin αcos α＝－．
答案　C
3．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析　sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝．
答案　D
4．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________．
解析　由tan A＝>0且角A是△ABC的内角可得
0解得sin A＝．
答案　
5．已知A为锐角，lg(1＋cos A)＝m，lg＝n，则lg sin A的值为________．
解析　由lg(1＋cos A)＝m，得1＋cos A＝10m，
由lg＝n，得1－cos A＝10－n，
故(1＋cos A)(1－cos A)＝10m－n，
即1－cos2A＝10m－n，即sin2A＝10m－n，
sin A＝10(m－n)，所以lg sin A＝(m－n)．
答案　(m－n)
6．已知tan α＝2，求下列代数式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α．
解　(1)原式＝＝．
(2)原式＝
＝
＝
＝．
7．求证：＝．
证明　方法一　∵左边＝
＝＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
方法二　∵右边＝＝；
左边＝＝
＝＝．
∴左边＝右边，原等式成立．
能力提升
8．已知＝－，那么的值是(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
解析　因·＝＝－1，
故＝．
答案　A
9．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
A． B．
C．1 D．
解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1．
答案　C
10．已知sin θ＝，cos θ＝，则tan θ＝________．
解析　由sin2θ＋cos2θ＝()2＋()2＝1，解得m＝0或m＝8．
当m＝0时，sin θ＝－，cos θ＝，故tan θ＝－；
当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，
故tan θ＝－．
答案　－或－
11．已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦，则实数m的值为________．
解析　由题意知Δ＝4(m＋1)2－16m≥0，
解得m∈R．
不妨设sin A＝x1，cos A＝x2，
则x1＋x2＝(m＋1)，x1·x2＝m，
即sin A＋cos A＝(m＋1)，sin Acos A＝m，
所以1＋2×m＝(m＋1)2，
解得m＝或m＝－．
当m＝－时，sin Acos A＝－<0，不合题意，舍去，故m＝．
答案　
12．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根．求：
(1)sin3θ＋cos3θ；
(2)tan θ＋．
解　根据题意，方程判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，所以a≤0或a≥4，
且
因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
即a2－2a－1＝0，
所以a＝1－(1＋舍去)．
所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－．
(1)sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(1－)[1－(1－)]＝－2．
(2)因为tan θ＋＝＋＝＝＝－－1．
13．(选做题)化简下列各式：
(1)；
(2)．
解　(1)原式＝
＝＝
＝－1．
(2)方法一　原式＝
＝＝．
方法二　原式＝
＝
＝
＝＝．
方法三　原式＝
＝
＝＝＝．