1.3 三角函数的诱导公式(二)学案

§1.3　三角函数的诱导公式(二)
内容要求1.掌握诱导公式五、六的推导(难点).2.能够应用三角函数的诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题(重点)．
知识点　诱导公式五、六
1．诱导公式五、六
2．公式五和公式六的语言概括
(1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值．
(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．(　　)
(2)诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．(　　)
(3)sin(－α)＝±cos α.(　　)
提示　(1)×，诱导公式五、六中的角α是任意角．
(2)√，由诱导公式一～六可知其正确．
(3)×，当k＝2时，sin(－α)＝sin(π－α)＝sin α．
题型一　利用诱导公式化简、求值
【例1】　(1)已知cos＝，≤α≤，求sin的值；
解　∵α＋＝＋，
∴sin(α＋)＝sin＝cos＝．
(2)化简：．
解　原式＝＝tan α．
规律方法　求值问题中角的转化方法
【训练1】　已知cos(－α)＝，求下列各式的值：
(1)sin(＋α)；(2)sin(α－)．
解　(1)sin(＋α)＝sin[－(－α)]＝cos(－α)＝．
(2)sin(α－)＝sin[－－(－α)]＝－sin[＋(－α)]
＝－cos(－α)＝－．
题型二　利用诱导公式证明恒等式
【例2】　求证：＝－tan α．
证明　左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
规律方法　证明等式的常用方法
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．
【训练2】　求证：＝．
证明　左边＝
＝
＝＝
＝＝．
右边＝＝．
∴左边＝右边，故原等式成立.
典例
迁移
　题型三　诱导公式的综合应用
【例3】　已知cos α＝－，且α为第三象限角．
(1)求sin α的值；
(2)求f(α)＝的值．
解　(1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－＝－．
(2)f(α)＝＝tan α·sin α
＝·sin α
＝＝(－)2×(－)＝－．
【迁移1】　本例条件不变，求f(α)
＝的值．
解　f(α)＝＝sin α＝－．
【迁移2】　本例条件中“cos α＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P(m，)”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值．
解　由题意知m2＋()2＝1，
解得m2＝，
因为α为第二象限角，故m<0，
所以m＝－，
所以sin α＝，cos α＝－．
原式＝＝＝－．
规律方法　用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
课堂达标
1．sin 165°等于(　　)
A．－sin 15° B．cos 15°
C．sin 75° D．cos 75°
解析　sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°．
答案　D
2．已知sin(α＋)＝，则cos(－α)的值为(　　)
A． B．
C． D．－
解析　cos(－α)＝cos[－(α＋)]＝sin(α＋)＝．
答案　C
3．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．
解析　原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1．
答案　1
4．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos(α＋)＝________．
解析　由题意得sin α＝－＝－，
所以cos(α＋)＝－sin α＝．
答案　
5．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4＋cos4的值．
解　∵sin(5π－θ)＋sin
＝sin(π－θ)＋sin
＝sin θ＋cos θ＝，
∴sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)2－1]
＝＝，
∴sin4＋cos4＝cos4θ＋sin4θ
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2×2＝．
课堂小结
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．
3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．
基础过关
1．已知sin α＝，则cos(α＋)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析　cos(α＋)＝－sin α＝－．
答案　B
2．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　)
A．－a B．－a
C．a D．a
解析　由条件得－sin α－sin α＝－a，故sin α＝，
原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a．
答案　B
3．已知cos(＋φ)＝，且|φ|<，则tan φ等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析　由cos(＋φ)＝－sin φ＝，得sin φ＝－，
又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－．
答案　C
4．若sin(α＋)＝，则cos(α＋)＝________．
解析　cos(α＋)＝cos[＋(α＋)]
＝－sin(α＋)＝－．
答案　－
5．化简＝________．
解析　原式＝
＝＝－1．
答案　－1
6．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求
的值．
解　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，
所以sin α＝－，
又因为α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－.所以tan α＝．
故原式＝
＝tan α＝．
7．设tan＝m．
求证：＝．
证明　左边＝
＝
＝
＝＝右边．
∴原等式成立．
能力提升
8．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于(　　)
A．3－cos 2x B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
解析　f(cos x)＝f(sin(－x))＝3－cos 2(－x)＝3－cos(π－2x)＝3＋cos 2x．
答案　C
9．α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析　由条件可知－2tan α＋3sin β＝－5①，tan α－6sin β＝1②，
①式×2＋②式可得tan α＝3，
即sin α＝3cos α，
又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角，
故可解得sin α＝．
答案　C
10．已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________．
解析　∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2，
∴原式＝＝
＝＝2．
答案　2
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是________(填上所有符合的序号)．
①sin β＝；②cos(π＋β)＝；③tan β＝；
④tan β＝．
解析　∵sin(π＋α)＝－sin α，
∴sin α＝，若α＋β＝90°，
则β＝90°－α，
故sin β＝sin(90°－α)＝cos α＝±，故①满足；
③中tan β＝，
即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，
故sin β＝±，即③满足，而②④不满足．
答案　①③
12．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
解　由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， ③
又因为sin2α＋cos2α＝1， ④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－．
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
13．(选做题)已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
解　sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α．
∴sin α·cos α＝，
即2sin α·cos α＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝．
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝．