1.3 三角函数的诱导公式(一)学案

§1.3　三角函数的诱导公式(一)
内容要求　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程(难点).3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题(重点、难点)．
知识点　诱导公式二、三、四
1．诱导公式二
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan_α
2．诱导公式三
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，
tan(－α)＝－tan α
3．诱导公式四
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式
sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角．(　　)
(2)sin(α－π)＝sin α.(　　)
(3)cosπ＝－.(　　)
提示　(1)×，正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
(2)×，sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α．
(3)√，cos＝cos(π＋)＝－cos＝－．
题型一　给角求值问题
【例1】　(1)sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________.；
解析　sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝；
cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－．
答案　　－
(2)计算：sin(－)－cos(－)＝________．
解析　原式＝－sin－cos＝－sin(4π＋π＋)－cos(2π＋π＋)＝sin＋cos＝＋＝1．
答案　1
规律方法　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
【训练1】　求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－．
方法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－．
(2)方法一　cos＝cos＝cos
＝cos(π＋)＝－cos＝－．
方法二　cos＝cos
＝cos＝－cos＝－．
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1．
题型二　化简求值问题
【例2】　(1)计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________；
解析　原式＝cos＋cos＋cos＋cos(π－)＋cos(π－)＋cos(π－)＝cos＋cos＋cos－cos－cos－cos＝0．
答案　0
(2)化简：．
解　原式＝＝·＝1．
规律方法　三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式．
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
【训练2】　化简下列各式：
(1)；
(2)．
解　(1)原式＝
＝＝－＝－tan α．
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
典例
迁移
　题型三　给值或式求值问题
【例3】　(1) 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________．
解析　α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.
答案　
(2)已知cos(－α)＝，求cos(＋α)－sin2(α－)的值．
解　因为cos(＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－，
sin2(α－)＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝1－()2＝，
所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－－＝－．
【迁移1】　将例3(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？
解　由题意知cos(＋α)＝，求cos(－α)＋sin2(α＋)的值．
因为cos(－α)＝cos[π－(＋α)]＝－cos(＋α)＝－，
sin2(α＋)＝1－cos2(＋α)＝1－()2＝，
所以，cos(－α)＋sin2(α＋)＝－＋＝．
【迁移2】　例3(2)题中的条件不变，求cos(－α)－sin2(α－)的值．
解　cos(－α)－sin2(α－)＝cos[π＋(－α)]－sin2[(α－)－2π]
＝－cos(－α)－sin2(－α)＝－－＝－．
规律方法　解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
课堂达标
1．tan 300°＋sin 450°的值是(　　)
A．－1＋ B．1＋
C．－1－ D．1－
解析　原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝－＋1．
答案　D
2．已知sin＝m，则cos的值等于(　　)
A．m B．－m
C． D．－
解析　cos＝cos(π－)＝－cos＝－(－)＝．
答案　C
3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为________．
解析　tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)
＝tan 60°＝－＝，
即a＝－．
答案　－
4．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________．
解析　cos(212°＋α)＝cos[2×360°－(508°－α)]
＝cos(508°－α)＝．
答案　
5．化简：．
解　原式＝
＝
＝＝1．
课堂小结
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～之间的角求值
2．诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
基础过关
1．已知sin(π－α)＝，则sin(α－2 017π)的值为(　　)
A． B．
C． D．－
解析　由sin(π－α)＝sin α得sin α＝，所以sin(α－2 017π)
＝sin[(α－π)－2 016π]＝sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－sin α＝－．
答案　D
2．若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于(　　)
A． B．
C． D．
解析　∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)
＝－sin 70°＝a，∴sin 70°＝－a，
∴cos 70°＝＝，
∴tan 70°＝＝．
答案　B
3．tan(5π＋α)＝m(m≠±1)，则的值为(　　)
A． B．
C．－1 D．1
解析　∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，
∴原式＝＝＝．
答案　A
4．若P(－4,3)是角α终边上一点，则的值为________．
解析　由题意知sin α＝，原式＝＝－＝－＝－．
答案　－
5.的值是________________．
解析　原式＝
＝
＝
＝＝＝－2．
答案　－2
6．化简下列各式：
(1)sin(－π)cos π；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．
解　(1)sin(－π)cos π
＝－sin(6π＋)cos(π＋)＝sin cos ＝．
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos（-240°）sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)
＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1．
7．已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．
解　由tan(π＋α)＝－，
得tan α＝－，
(1)原式＝
＝＝
＝＝－．
(2)原式＝sin(－6π＋α－π)·cos(4π＋α＋π)
＝sin(α－π)·cos(α＋π)
＝－sin α(－cos α)
＝sin αcos α＝
＝＝－．
能力提升
8．已知n为整数，化简所得的结果是(　　)
A．tan(nα) B．－tan(nα)
C．tan α D．－tan α
解析　当n为偶数时，原式＝＝tan α；
当n为奇数时，原式＝＝tan α.故选C．
答案　C
9．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2 009)＝5，则f(2 017)等于(　　)
A．4 B．3
C．－5 D．5
解析　f(2 009)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5，
f(2 017)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5．
答案　D
10．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－2π)＝________．
解析　由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
故sin(α－2π)＝sin α＝－＝－
＝－(α为第四象限角)．
答案　－
11．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________．
解析　a＝－tan＝－tan＝－，
b＝cos＝cos＝，
c＝－sin＝－sin＝－，
∴b>a>c．
答案　b>a>c
12．若cos(α－π)＝－，求
的值．
解　原式＝
＝＝＝－tan α．
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，
∴tan α＝＝，
∴原式＝－．
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝．
综上，原式＝±．
13．(选做题)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解　由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，
∴A＝或π．
当A＝π时，cos B＝－<0，
∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，
∴B＝，∴C＝π．
综上所述，A＝，B＝，C＝π．