1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学案

§1.4　三角函数的图象与性质
1.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
内容要求　1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(难点).2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线(重点).3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系(难点)．
知识点　正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
图象画法
“五点法”
“五点法”
关键
五点
(0,0)，(，1)，
(π，0)，(，－1)，
(2π，0)
(0,1)，(，0)，
(π，－1)，(，0)，
(2π，1)
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展．(　　)
(2)函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同．(　　)
(3)函数y＝cos x的图象关于(0,0)对称．(　　)
提示　(1)×，正弦函数y＝sin x的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y＝1和y＝－1之间．
(2)×，二者图象不同，而是关于x轴对称．
(3)×，函数y＝cos x的图象关于y轴对称．
题型一　“五点法”作图的应用
【例1】　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解　(1)取值列表：
X
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
(2)描点连线，如图所示：
规律方法　用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
(或cos x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1
(或0)
0(或1)
y
b
(或A＋b)
A＋b
(或b)
b(或
－A＋b)
－A＋b
(或b)
b
(或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
【训练1】　利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
解　(1)取值列表如下：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
－1－cos x
－2
－1
0
－1
－2
(2)描点连线，如图所示．
题型二　利用正弦、余弦函数图象解不等式
【例2】　利用正弦曲线，求满足解　首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和．
观察图象可知，在[0,2π]上，当所以规律方法　用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集．
【训练2】　求函数f(x)＝lg cos x＋的定义域．
解　由题意，得x满足不等式组
即作出y＝cos x的图象，如图所示．
结合图象可得：
x∈∪∪.
互动
探究
　题型三　正弦、余弦曲线与其他曲线的交点问题
【探究1】　当x∈[0,4π]时，解不等式sin x≥0．
解　由函数y＝sin x，x∈[0,4π]的图象可知，不等式sin x≥0的解集为[0，π]∪[2π，3π]．
【探究2】　作出函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,4π]的图象．
解　易知f(x)＝
则f(x)的图象如图所示：
【探究3】　求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0解的个数．
解　在同一坐标系内作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故所给方程有四个根．
规律方法　判断方程解的个数的关注点
(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．
(2)当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定．
【训练3】　方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．
解析　作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
答案　2
课堂达标
1．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　)
解析　函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D．
答案　D
2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　)
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
答案　B
3．不等式cos x<0，x∈[0,2π]的解集为________．
解析　由函数y＝cos x的图象可知，不等式cos x<0[0,2π]的解集为(，)．
答案　(，)
4．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
解析　作y＝cos x，x∈[0,2π]的图象及直线y＝－(图略)，知两函数图象有两个交点．
答案　两
5．利用“五点法”作出下列函数的图象：
(1)y＝2－sin x(0≤x≤2π)；(2)y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)．
解　利用“五点法”作图
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2－sin x
2
1
2
3
2

描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示．
(2)列表：
X
0
π
2π
－2cos x
－2
0
2
0
－2
－2cos x＋3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：
课堂小结
1．对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝asin x＋b的图象的步骤
基础过关
1．用“五点法”作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　)
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析　由“五点法”可知选A．
答案　A
2．方程sin x＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析　在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．
答案　A
3．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为(　　)
解析　由题意得
y＝
显然只有D合适．
答案　D
4．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
解析　∵sin x∈[－1,1]，∴－1≤2m＋1≤1，故－1≤m≤0．
答案　[－1,0]
5．不等式sin x<－，x∈[0,2π]的解集为________．
解析　如图所示，不等式sin x<－的解集为．
答案　
6．用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝2sin x，x∈[0,2π]；(2)y＝sin(x＋)，x∈[－，]．
解　(1)列表：
x
0
π
π
2π
2sin x
0
2
0
－2
0
描点、连线、绘图，如图所示．
(2)①列表：
x＋
0
π
π
2π
x
－
π
π
π
sin
0
1
0
－1
0
②描点连线如图．
7．根据y＝cos x的图象解不等式：
－≤cos x≤，x∈[0,2π]．
解　函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为
{x|≤x≤或≤x≤}．
能力提升
8．如图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x<且x≠)的图象是(　　)
解析　当0≤x<时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；
当当π故其图象为C．
答案　C
9．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(　　)
A．4 B．8
C．2π D．4π
解析　作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π．
答案　D
10．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________________．
解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝图象，由图象易得：－答案　
11．函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________.
解析　由得cos x＝0，
当x∈[0,2π]时，x＝或．
∴交点为，.
答案　，
12．用“五点法”作出函数y＝1－cos x的简图．
解　(1)列表
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
1
1
(2)描点，连线可得函数在[0,2π]上的图象，将函数图象向左，向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y＝1－cos x的图象，如图所示．
13．(选做题)若方程sin x＝在x∈[，π]上有两个实数根，求a的取值范围．
解　在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象，y＝的图象，由图象可知，当≤<1，即－1