1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学案

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(二)
内容要求　1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点).2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小(重、难点).3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间(重点)．
知识点　正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k∈Z))
正弦函数
余弦函数
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ]上递增，在[＋2kπ，＋2kπ]上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，π＋2kπ]上递减
最值
x＝＋2kπ时ymax＝1；x＝－＋2kπ时，ymin＝－1
x＝2kπ时，ymax＝1；x＝π＋2kπ时，ymin＝－1
【预习评价】
1．在下列区间中，使y＝sin x为增函数的是(　　)
A．[0，π] B．[，]
C．[－，] D．[π，2π]
解析　因为函数y＝sin x的单增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，故当k＝0时，即为[－，]，故选C．
答案　C
2．函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为________．
解析　当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝2－sin x的最大值为3．
答案　－＋2kπ(k∈Z)
题型一　正弦函数、余弦函数的单调性
【例1】　(1)下列函数，在[，π]上是增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
解析　对于函数y＝cos 2x，令π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ，(k∈Z)，
即＋kπ≤x≤π＋kπ (k∈Z)，
故y＝cos 2x的单增区间是[＋kπ，π＋kπ](k∈Z)，则当k＝0时单增区间为[，π]，故选D．
答案　D
(2)求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
解　y＝1＋sin＝－sin＋1．
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．
解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋sin(－x＋)的单调减区间为
[－4π，－]，[－，]，[，4π]．
规律方法　单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，
(1)当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；放入y＝sin x或y＝cos x的单调减区间内，可求得函数的减区间．
(2)当A<0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的减区间；放入y＝sin x或y＝cos x的单调减区间内，可求得函数的增区间．
提醒　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，借助y＝sin x的单调区间来解决．当A<0或ω<0时，要注意原函数的单调性与y＝sin x的单调性的关系．
【训练1】　求函数f(x)＝2cos(2x－)的单调增区间．
解　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
题型二　利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
【例2】　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 与cos ；
(2)cos与cos.
解　(1)sin ＝sin(π＋)＝－sin ，
cos ＝cos(π－)＝－cos ＝－sin ，
∵0＜＜＜，且y＝sin x在[0，]上是增函数
∴sin 从而－sin >－sin ，即sin >cos .
(2)cos＝cos π＝cos(4π＋π)＝cos π，
cos＝cos π＝cos＝cos ．
∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos π规律方法　比较三角函数值的大小的步骤
(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数．
(2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调增(减)区间．
(3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论．
【训练2】　比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)cos 870°与sin 980°．
解　(1)sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin ，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin(2)cos ＝cos(4π＋)＝cos ，sin ＝sin(4π＋)＝sin ＝sin(＋)＝cos ，
∵0＜＜＜π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos >cos ，即cos >sin .
考查
方向
　题型三　正弦函数、余弦函数的最值问题
方向1　正弦函数、余弦函数的值域问题
【例3-1】　函数f(x)＝cos(2x＋)，x∈[－，0]的值域为________．
解析　∵－≤x≤0，
∴－≤2x＋≤，
∴－≤cos(2x＋)≤1，
故－1≤cos(2x＋)≤，
即f(x)的值域是[－1，]．
答案　[－1，]
方向2　与正、余弦函数有关的复合函数的值域问题
【例3-2】　函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
解析　f(x)＝sin2x＋cos x－，
f(x)＝1－cos2x＋cos x－，
令cos x＝t且t∈[0，1]，
则y＝－t2＋t＋
＝－＋1，
则当t＝时，f(x)取最大值1.
答案　1
方向3　含参数的最值问题
若函数y＝a－bcos x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝
－4acos bx的最值和最小正周期．
解　∵y＝a－bcos x(b>0)，
∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－．
由解得
∴y＝－4acos bx＝－2cos x，
所以函数y=－4acos bx的最大值为2，最小值为-2,最小正周期为2π.
规律方法　求三角函数值域或最值的常用方法
(1)可化为单一函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k，其最大值为|A|＋k，最小值－|A|＋k(其中A，ω，k，φ为常数，A≠0，ω≠0)．
(2)可化为y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C(A≠0)，最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求(换元法)．
课堂达标
1．y＝2sin(3x＋)的值域是(　　)
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．[－1,1]
解析　因为sin(3x＋)∈[－1,1]，所以y∈[－2,2]．
答案　A
2．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°C．sin 11°解析　因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，又因为函数y＝sin x在[0，]上单调递增，所以sin 11°答案　C
3．函数f(x)＝cos(2x－)的单减区间是________．
解析　令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
答案　[＋kπ，＋kπ](k∈Z)
4．函数y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是________．
解析　∵0≤x≤，
∴≤x＋≤，
∴cos≤cos(x＋)≤cos．
∴－≤y≤，即值域为[－，]．
答案　[－，]
5．求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解　∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
课堂小结
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋
≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用方法：
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．
基础过关
1．函数y＝sin 2x的单调减区间是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析　令＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
则y＝sin 2x的单减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
答案　B
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析　因为函数周期为π，所以排除C，D．又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A．
答案　A
3．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B．1
C. D.
解析　cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin
＝sin，函数的最大值为.
答案　A
4．函数y＝sin(－)取最大值时自变量的取值集合是________．
解析　当－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z时，函数取最大值．
答案　{x|x＝＋4kπ，k∈Z}
5．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________________________．
解析　∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3．
y＝sin x在上递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin 3答案　sin 36．已知函数f(x)＝2cos．
(1)求f(x)的单调递增区间(k∈Z)；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值(k∈Z)．
解　(1)令－π＋2kπ≤3x＋≤2kπ，
可得－＋kπ≤x≤－＋kπ，
故f(x)的单调递增区间是
[－＋kπ，－＋kπ](k∈Z)．
(2)当3x＋＝－π＋2kπ，
即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为－2．
7．求函数y＝cos2x－sin x的值域．
解　y＝cos2x－sin x
＝－sin2x－sin x＋1
＝－2＋．
∵sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝－时，ymax＝；
当sin x＝1时，ymin＝－1．
∴函数y＝cos2x－sin x的值域为．
能力提升
8．若函数y＝sin(π＋x)，y＝cos(2π－x)都是减函数，则x的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析　y＝sin(π＋x)＝－sin x，
y＝cos(2π－x)＝cos x，
对y＝－sin x在(k∈Z)上单调递减．
对y＝cos x在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减．
取两集合的交集，故选A．
答案　A
9．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(　　)
A． B．
C．2π D．4π
解析　作出y＝sin x的一个简图，
如图所示，∵函数的值域为[－1，]，
且sin＝sin＝，sin＝－1，
∴定义域[a，b]中b－a的最小值为－＝，
定义域[a，b]中b－a的最大值为2π＋－＝，
故可得，最大值与最小值之和为2π．
答案　C
10．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则cos α与sin β的大小关系是________．
解析　因为α，β是锐角三角形的两个内角，故α＋β>，∴α>－β，α∈(0，)，－β∈(0，)，
所以cos α答案　cos α11．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________．
解析　∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1，
∴0≤ωx≤<．
∵f(x)max＝2sin＝，
∴sin＝，＝，
即ω＝．
答案　
12．求下列函数的单调增区间：
(1)y＝1－sin ；(2)y＝logcos(－)．
解　(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z．
∴y＝1－sin 的增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π] (k∈Z)．
(2)要求函数y＝logcos的增区间，即求使y＝cos>0且单调递减的区间．为此，x满足：2kπ≤－<2kπ＋，k∈Z．
整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z．
∴函数y＝logcos的增区间为
，k∈Z．
13．(选做题)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f(x)≤|f|对x∈R恒成立．且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间．
解　由f(x)≤|f|对x∈R恒成立知，
2·＋φ＝2kπ±(k∈Z)．
∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<π，得φ＝或φ＝－，
又∵f>f(π)，
∴φ＝－，故f (x)=2sin(2x－)
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．
得f(x)的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．