1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学案

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)
内容要求　1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义(重点).2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期(重点).3.掌握函数y＝sin x、y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点)．
知识点1　周期函数
1．周期函数
条件
①对于函数f(x)，存在一个非零常数T
②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
2．最小正周期
条件
周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R)．(　　)
(2)任何周期函数都有最小正周期．(　　)
(3)若存在正数T，使f(x＋T)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2T.(　　)
提示　(1)×，周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．
(2)×，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期．
(3)√，f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝－f(x＋T)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的周期为2T．
知识点2　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π　
2π　
奇偶性
奇函数　
偶函数　
【预习评价】
函数y＝sin(x＋)是(　　)
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
解析　因为y＝sin(x＋)＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数．
答案　D
题型一　求三角函数的周期
【例1】　求下列函数的周期：
(1)y＝2sin(x＋)，x∈R；
(2)y＝1－2cos(x)，x∈R；
(3)y＝|sin x|，x∈R．
解　(1)∵2sin
＝2sin＝2sin，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，
函数y＝2sin，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝2sin，x∈R的周期是4π．
(2)∵1－2cos[(x＋4)]＝1－2cos(x＋2π)＝1－2cos(x)，
∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos(x)，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝1－2cos(x)，x∈R的周期是4．
(3)作图如下：
观察图象可知最小正周期为π．
规律方法　求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．
【训练1】　(1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　)
解析　对于D，x∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数．
答案　D
(2)下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
解析　选项A，周期T＝＝4π；选项B，周期T＝＝π；选项C，周期T＝＝8π；选项D，周期T＝＝．
答案　D
题型二　三角函数的奇偶性
【例2】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝．
解　(1)显然x∈R，f(x)＝cos x，
f(－x)＝cos＝cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1解得定义域为．
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
规律方法　判断函数奇偶性的两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(－x)与f(x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
【训练2】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(2)f(x)＝＋．
解　(1)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.
典例
迁移
　题型三　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析　y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π．
答案　D
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析　f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin＝．
答案　D
【迁移1】　若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
解　f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝－f()＝－sin＝－．
【迁移2】　若将例3(2)题条件不变，求f＋f的值．
解　f()＝f(672π＋)＝f()＝sin＝，
f()＝f(672π＋)＝f()＝f(－)＝f()＝sin＝，
所以f()＋f()＝＋＝．
规律方法　三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个．
【训练3】　若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，则f＝________．
解析　f(－)＝f(－＋3π)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1．
答案　1
课堂达标
1．函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A．4π B．2π C．π D.
解析　由题意T＝＝π，故选C.
答案　C
2．函数f(x)＝cos(x－)的周期是(　　)
A．3 B．3π
C．6 D．6π
解析　T＝＝6．
答案　C
3．函数y＝sin(ωx＋)的最小正周期为2，则ω的值为________．
解析　T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π．
答案　±π
4．函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝，则f(22)＝________．
解析　f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝．
答案　
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin　(2)f(x)＝x·cos x．
解　(1)f(x)的定义域是R，且f(x)＝sin＝－cosx，
所以f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数．
(2)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
课堂小结
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T．
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|．
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝．
2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性．
基础过关
1．函数f(x)＝x＋sin x，x∈R(　　)
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
解析　由f(－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f(x)可知f(x)是奇函数．
答案　A
2．下列函数中，周期为2π的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝|sin | D．y＝|sin 2x|
解析　y＝sin 的周期为T＝＝4π；
y＝sin 2x的周期为T＝＝π；
y＝|sin |的周期为T＝2π；
y＝|sin 2x|的周期为T＝．
故选C．
答案　C
3．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．2
解析　f＝f＝f＝－f＝－1．
答案　B
4．若函数f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，则φ＝________．
解析　由诱导公式得若f(x)是偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z．
答案　＋kπ，k∈Z
5．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式为________．
解析　当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，
又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－sin x，
即f(x)＝
答案　f(x)＝
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝．
解　(1)x∈R，f(x)＝cos(＋2x)cos(π＋x)
＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x．
∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x
＝－f(x)．
∴y＝f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0．
∴f(x)＝＋的定义域是R．
∵f(－x)＝＋，
＝＋＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
(3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x≠0，
∴x∈R且x≠kπ，k∈Z．
∴定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴该函数是奇函数．
7．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．
解　x∈时，3π－x∈，
∵x∈时，f(x)＝1－sin x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x．
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈．
能力提升
8．函数y＝的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数
D．非奇非偶函数
解析　由题意知，当1－sin x≠0，
即sin x≠1时，
y＝＝|sin x|，
所以函数的定义域为，
由于定义域不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数．
答案　D
9．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于(　　)
A．1 B．
C．0 D．－
解析　f＝f(－＋×3)＝f＝sin＝．
答案　B
10．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②存在φ，使f(x)是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中错误的是________(填序号)．
解析　φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数．
φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数．
答案　①④
11．设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝________．
解析　∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6．
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)
＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)
＝336
＋f(336×6＋1)＝336×0＋f(1)＝sin ＝．
答案　
12．判断函数f(x)＝ln(sin x＋)的奇偶性．
解　∵sin x＋≥sin x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sin x＋>0．
∵f(－x)＝ln(－sin x＋)
＝ln(－sin x)＝ln(＋sin x)－1
＝－ln(sin x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
13．(选做题)已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．
解　当x∈时，
g(x)＝f＝cos．
因为x＋∈，
所以由g(x)＝解得x＋＝－或，
即x＝－或－．
又因为g(x)的最小正周期为π．
所以g(x)＝的解集为
．