1.4.3 正切函数的性质与图象学案

1.4.3　正切函数的性质与图象
内容要求　1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质(重点).2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题(重点、难点)．
知识点　函数y＝tan x的图象和性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}　
值域
R　
周期
π　
奇偶性
奇函数　
单调性
在区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)都是增函数
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝tan x在其定义域上是增函数．(　　)
(2)函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．(　　)
(3)函数y＝tan 2x的周期为π.(　　)
提示　(1)×，y＝tan x在区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数．
(2)×，y＝tan x图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．
(3)×，y＝tan 2x的周期为．
题型一　正切函数的定义域、值域问题
【例1】　(1)函数y＝3tan(－)的定义域为________；
解析　由－≠＋kπ，得x≠－－4kπ，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠－－4kπ，k∈Z}．
答案　{x|x≠－－4kπ，k∈Z}
(2)函数y＝tan(2x－)，x∈(－，)的值域是________．
解析　∵－∴tan(2x－)<1，即函数的值域为(－∞，1)．
答案　(－∞，1)
规律方法　求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z．
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x．
【训练1】　函数y＝tan(sin x)的定义域为______________，值域为______________．
解析　因为－1≤sin x≤1，
所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，
所以y＝tan(sin x)的定义域为R，
值域为[－tan 1，tan 1]．
答案　R　[－tan 1，tan 1]
考查
方向
　题型二　正切函数的单调性及应用
方向1　求正切函数的单调区间
【例2-1】　求函数y＝tan(－x＋)的单调区间．
解　y＝tan(－x＋)＝－tan(x－)，
由－＋kπ方向2　比较大小
【例2-2】　比较大小：tan(－)和tan(－)．
解　∵tan(－)＝－tan(2π－)＝tan，
tan(－)＝－tan(2π－)＝tan．
又0<<<，y＝tan x在(0，)内单调递增，
∴tantan(－)．
规律方法　1.运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝
－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
【训练2】　比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
解　∵1<<2<3<π，根据y＝tan x的性质可得：y＝tan x在(0，)上单调递增且大于0，在(，π)上单调递增且小于0，∴tan 20，
∴tan 2题型三　正切函数图象性质的应用
【例3】　(1)函数y＝tan(2x＋)的最小正周期是(　　)
A．π B．2π
C． D．
解析　最小正周期为T＝＝．
答案　C
(2)画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解　由y＝|tan x|得，
y＝
其图象如图：
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数．
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
函数y＝|tan x|的单调递增区间[kπ，kπ＋)(k∈Z)，
单调递减区间为(kπ－，kπ)(k∈Z)．
规律方法　1.作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
(1)保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
(2)将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
2．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
【训练3】　(1)下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是(0，)上的增函数的是(　　)
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝|sin x|
解析　由于y＝tan x与y＝tan 是奇函数，但是只有y＝tan x的周期为π，y＝cos x与y＝|sin x|是偶函数．
答案　A
(2)画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．
解　f(x)＝tan|x|化为
f(x)＝
根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示，
由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，)，(kπ＋，kπ＋π)(k∈N)；单调减区间为(－，0]，(kπ－π，kπ－)(k＝0，－1，－2，…)．
课堂达标
1．函数f(x)＝tan(x＋)的单调增区间是(　　)
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
解析　由－＋kπ答案　C
2．函数y＝2tan(－3x＋)的最小正周期是(　　)
A． B．
C． D．π
解析　T＝＝．
答案　B
3．比较大小：tan________tan．
解析　因为tan>0，tan<0，所以tan>tan．
答案　>
4．函数y＝tan x(≤x≤，且x≠)的值域是________．
解析　函数y＝tan x在[，)上单调递增，在(，]上也是单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞)
5．求函数y＝tan 2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
解　由2x≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋kπ，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，
值域为(－∞，＋∞)，周期为T＝，对应图象如图所示：
课堂小结
1．正切函数的图象
正切函数y=tan x有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是，
值域是R．
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0)的周期为T＝．
(3)正切函数在(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．
基础过关
1．函数y＝2tan(2x＋)的定义域为(　　)
A．{x|x≠} B．{x|x≠－}
C．{x|x≠＋kπ，k∈Z} D．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
解析　由2x＋≠＋kπ，k∈Z,得x≠＋kπ，k∈Z,故函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
答案　D
2．函数y＝tan x＋是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
解析　函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}，且tan(－x)＋＝－tan x－
＝－(tan x＋)，所以函数y＝tan x＋是奇函数．
答案　A
3．函数y＝lg tan x的增区间是(　　)
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(kπ，kπ＋π)(k∈Z)
解析　由tan x>0，得kπ答案　B
4．函数y＝3tan的对称中心的坐标是________．
解析　由x＋＝ (k∈Z)，得x＝－ (k∈Z)．
∴对称中心坐标为 (k∈Z)．
答案　 (k∈Z)
5．比较大小：tan(－)________tan(－)．
解析　tan(－)＝tan，tan(－)＝tan，
又y＝tan x在(，π)内单增，
所以tan即tan(－)答案　<
6．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域．
解　∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1．
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5．
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4．
故所求函数的值域为[－4,4]．
7．设函数f(x)＝tan，
(1)求函数f(x)的周期、对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解　(1)∵ω＝，
∴周期T＝＝＝2π．
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝．
令－＝，则x＝．
令－＝－，则x＝－．
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
能力提升
8．已知函数y＝tan ωx在(－，)内是减函数，则(　　)
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
解析　∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π．
∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0．
答案　B
9．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)
解析　当当x＝π时，y＝0；当πsin x，y＝2sin x．故选D．
答案　D
10．函数y＝tan(＋)，x∈[0，)∪(，π]的值域为________．
解析　∵x∈[0，)∪(，π]，
∴＋∈[，)∪(，]，
令t＝＋，
由y＝tan t，t∈[，)∪(，]的图象(如图所示)．
可得，所求函数的值域为(－∞，－]∪[，＋∞)．
答案　(－∞，－]∪[，＋∞)
11．若tan(2x－)≤1，则x的取值范围是________．
解析　由题意可得－＋kπ<2x－≤＋kπ，k∈Z，解之得－＋kπ答案　{ x|－＋kπ12．有两个函数f(x)＝asin，g(x)＝btan(k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1.求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间．
解　根据题意，可得：
解得
故f(x)＝sin，g(x)＝tan．
当kπ－<2x－即－所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
13．(选做题)函数y＝sin x与y＝tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？
解　因为当x∈时，tan x>x>sin x，
所以当x∈时，y＝sin x与y＝tan x没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0,2π]内的图象如图所示：
观察图象可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0,2π]上有3个交点．