1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)学案

§1.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
内容要求　1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式(重点、难点).2.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．
知识点1　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
【预习评价】
函数y＝sin(3x－)的振幅为________，周期为________，频率为________．
答案　　　
知识点2　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
名称
性质
定义域
R　
值域
[－A，A]　
周期性
T＝　
对称性
对称中心(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
奇偶性
当φ＝kπ　(k∈Z)时是奇函数;
当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性
由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间;
由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
【预习评价】
函数f(x)＝sin(x－)的图象的对称轴方程是________．
解析　令x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，
即f(x)的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z．
答案　x＝＋kπ，k∈Z
题型一　由图象求三角函数的解析式
例1　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
解　方法一　(逐一定参法)：
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|＜，∴φ＝.∴y＝3sin.
方法二　(待定系数法)：
由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
方法三　(图象变换法)：
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
规律方法　已知图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
方法一：如果从图象直接确定A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ.
方法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数．
【训练1】　若函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
解析　由所给图象可知，＝2，∴T＝8．
又∵T＝，∴ω＝．
∵图象在x＝1处取得最高点，∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∵0≤φ<2π，∴φ＝．
答案　C
题型二　三角函数图象的对称性
【例2】　(1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析　将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin 2(x＋)＝2sin(2x＋)，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z．
答案　B
(2)在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
解析　由4x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z，所以当k＝1时，x＝－＝，即(，0)离原点最近．
答案　(，0)
规律方法　三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴
对称中心
y＝Asin(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Acos(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Atan(ωx＋φ)
无
令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标
【训练2】　函数f(x)＝2cos(2x－)的对称中心的坐标是________．
解析　令2x－＝＋kπ，k∈Z，可解得x＝＋kπ，k∈Z．
即所求函数的对称中心的坐标是(＋kπ，0)(k∈Z)．
答案　(＋kπ，0)(k∈Z)
考查
方向
　题型三　三角函数性质的综合应用
方向1　三角函数的奇偶性
【例3-1】　将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)
A． B．
C．0 D．－
解析　将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到y＝sin(2x＋φ＋)的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝．
答案　B
方向2　三角函数的单调性
【例3-2】　若f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在区间上为增函数，则ω的最大值为________.
解析　∵f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在区间[－，]上为增函数，可得－·2ω≥2kπ－，k∈Z，且·2ω≤2kπ＋，k∈Z，求得ω≤，故ω的最大值为．
答案　
方向3　三角函数的最大(小)值问题
【例3-3】　已知方程2sin(2x＋)－1＝a，x∈[－，]有两解，求a的取值范围．
解　由题意2sin(2x＋)＝a＋1．
令y＝2sin(2x＋)，y＝a＋1，
作出函数y＝2sin(2x＋)在[－，]上的图象如图．
显然要使y＝a＋1与图象有两个交点，
只须－2即－3∴a的取值范围是{a|－3规律方法　1.正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数．
2．与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦型函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
课堂达标
1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
解析　由题意得振幅为，周期为T＝＝6π，初相是．
答案　B
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是(　　)
A．A＝3，T＝ B．A＝3，T＝
C．A＝，T＝ D．A＝，T＝
解析　由题图可知A＝(3－0)＝，设周期为T，则T＝－(－)＝，得T＝．
答案　D
3．简谐运动y＝sin(x－2)的频率f＝________．
解析　f＝＝．
答案　
4．若f(x)＝cos(2x＋＋φ)(|φ|<)是奇函数，则φ＝________．
解析　由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z．
又|φ|<，故当k＝0时，得φ＝．
答案　
5．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6,0)．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在x∈[－6,0]上的值域．
解　(1)由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16.即＝16，∴ω＝，∴y＝sin(x＋φ)．
又图象过最高点(2，)，∴sin(×2＋φ)＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin(x＋)．
(2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin(x＋)≤1．
即函数在x∈[－6,0]上的值域为[－，1]．
课堂小结
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|．
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T．
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
基础过关
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析　由题意知f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|<，所以φ＝，T＝＝6.故选A．
答案　A
2．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
解析　由图知T＝4×＝π，
∴ω＝＝2.又x＝时，
y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．
答案　D
3．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析　函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．
答案　D
4．把函数y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小正值是________．
解析　把y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位，
则y＝2sin(x＋m＋)，其图象关于y轴对称，
∴m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ－，k∈Z．
∴取k＝1，m的最小正值为．
答案　
5．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________．
解析　由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝．
∵当x＝时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－ (k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝．
答案　
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间．
解　(1)由题图知T＝－(－)＝，∴T＝π，最大值为1，最小值为－1．
(2)由(1)知ω＝＝2.又2×(－)＋φ＝2kπ，∴k∈Z,解得φ=2kπ+，k∈Z又-＜φ＜，φ＝，A＝1.则f(x)＝sin(2x＋)，由图知f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
7．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1．
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调递增区间．
解　(1)当x∈时，2x＋∈，
sin∈．
再由函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，可得b≤f(x)≤3a＋b．
再根据－5≤f(x)≤1，可得b＝－5，且3a＋b＝1，所以a＝2，b＝－5．
(2)由(1)可得，
f(x)＝－4sin－1，故g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1．
由lg g(x)>0，可得g(x)>1，
所以sin>，
所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，解得kπ再根据2kπ－<2x＋<2kπ＋，k∈Z，可得kπ－综合①②可得，函数g(x)的增区间为，k∈Z．
能力提升
8．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a等于(　　)
A． B．－
C．1 D．－1
解析　方法一　∵函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于x＝－对称，
设f(x)＝sin 2x＋acos 2x，则f(－)＝f(0)，
∴sin(－)＋acos(－)＝sin 0＋acos 0．
∴a＝－1．
方法二　由题意得f(－－x)＝f(－＋x)，
令x＝，有f(－)＝f(0)，即a＝－1．
答案　D
9．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析　由题意其中k1，k2∈Z，所以ω＝(k2－2k1)－，又T＝>2π，
所以0<ω<1，所以ω＝，φ＝2k1π＋π，由|φ|<π得φ＝，故选A.
答案　A
10．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝________．
解析　由题图可知＝－＝，T＝，
则可补全函数图象可得f=0，
故f为函数的一个中心对称点，?
所以得f(0)＝－f()＝．
答案　
11．关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于中心对称；
④y＝f(x)图象关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________．
解析　对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ (k∈Z)，
∴x＝π－ (k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用诱导公式得：
f(x)＝4cos＝4cos.∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝π－，k∈Z．
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，∴④错．
答案　②③
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
解　(1)由题意作出f(x)的简图如图．
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，
∴4π＝，即ω＝，
∴f(x)＝2sin(x＋φ)，
∴f(0)＝2sin φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin．
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z．
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，
∴x0＝．
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，
∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－≤f(x)≤2，
故f(x)的值域为[－，2]．
13．(选做题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－lg x＝0的解的个数．
解　(1)由题图，知A＝2，
由函数图象过点(0,1)，得f(0)＝1，即sin φ＝，
又|φ|<，所以φ＝．
易知点是五点作图法中的第五点，所以ω＋＝2π，所以ω＝2．
因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin．
(2)在同一平面直角坐标系中作函数y＝f(x)和函数y＝lg x的图象如图所示．
因为f(x)的最大值为2，
令lg x＝2，得x＝100，
令＋kπ<100(k∈Z)，
得k≤30(k∈Z)．
而＋31π>100，
且＋30π＋<100，
所以在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间．
在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31＝62(个)交点．
另外，两函数的图象在上还有一个交点，
所以方程f(x)－lg x＝0共有63个实数解．