1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)学案

§1.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
内容要求　1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(重点).2.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对其图象的影响(重点).3.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤(重点、易错点)．
知识点1　φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把函数y＝sin x的图象向右平移2个单位得到函数y＝sin(x＋2)的图象．(　　)
(2)函数y＝cos(x－)的图象是由函数y＝cos x的图象向右平移个单位得到的．(　　)
(3)把函数y＝sin x的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合．(　　)
提示　(1)×，应得到y＝sin(x－2)的图象．
(2)√，由平移的规律可知其正确．
(3)√，因为y＝sin(x＋2π)＝sin x，故两图象重合．
知识点2　ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin(2x＋)的图象．(　　)
(2)要得到函数y＝sin(－x＋)的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向左平移个单位得到．(　　)
(3)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin 2x的图象．(　　)
提示　(1)×，得到y＝sin 2(x＋)＝sin(2x＋)的图象．
(2)×，y＝sin[－(x－)]，故要得到y＝sin(－x＋)的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向右平移个单位．
(3)×，应得到y＝sinx的图象．
知识点3　A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
【预习评价】
把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到________的图象．
答案　y＝6sinx
题型一　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象
【例1】　(1)已知函数y＝sin利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)说明该函数的图象是由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的．
解　(1)先列表，后描点并画图.
x＋
0
π
2π
X
－
Y
0
1
0
－1
0
(2)把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x＋)的图象．
或把y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin x的图象，再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin [(x＋)]，即y＝
sin(x＋)的图象．
规律方法　1.“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表.
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
f(x)
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
【训练1】　请用“五点法”画出函数y＝sin(2x－)的图象．
解　令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点画图：
将函数在上的图象向左、向右平移即得y＝sin(2x－)的图象．
题型二　三角函数的图象的平移变换
【例2】　(1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
(2)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析　(1)函数y＝2sin的周期为T＝＝π，向右平移个周期，即向右平移后，得到图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D．
(2)y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos．
若设f(x)＝sin 2x＝cos ，
则f＝cos，∴向左平移个单位．
答案　(1)D　(2)A
规律方法　已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：
(1)将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A，ω及名称相同的结构．
(2)找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为．
(3)明确平移的方向．
【训练2】　将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．
解析　将函数y＝cos(2x＋)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos[2(x＋)＋]＝cos(2x＋π)＝－cos 2x，再向下平移3个单位，所得图象对应的函数为y＝－cos 2x－3．
答案　y＝－cos 2x－3
题型三　三角函数图象的伸缩变换
【例3】　(1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析　C1：y＝cos x，C2：y＝sin，首先曲线C1，C2统一三角函数名，可将C1：y＝cos x用诱导公式处理．y＝cos x＝sin.
即y＝sin
y＝sin＝sin 2
y＝sin 2＝sin 2
答案　D
(2)将函数f(x)＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g＝________．
解析　将函数f(x)＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的解析式为y＝2cos 2x，则g(x)＝2cos 2(x＋)＝2cos(2x＋)，故g()＝2cos(2×＋)
＝－2．
答案　－2
规律方法　三角函数图象伸缩变换的方法
方法一：y＝A1sin ω1x
y＝A2sin ω1xy＝A2sin ω2x．
方法二：y＝A1sin ω1x
y＝A1sin ω2xy＝A2sin ω2x．
【训练3】　说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
解　方法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
方法二　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象．
课堂达标
1．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　)
A．2 B．
C．4 D．
解析　由题意可知得到图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝．
答案　B
2．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析　y＝cos＝sin
＝sin＝sin．
由题意知，要得到y＝sin的图象，
只需将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度．
答案　A
3．将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为________．
解析　由题意得所得图象对应的解析式为y＝cos 2(x－)＝cos(2x－)．
答案　y＝cos(2x－)
4．利用“五点法”作函数y＝2sin(2x－)的图象时，所取的五个点的坐标为________________．
解析　令2x－＝0，，π，，2π得x＝，，，，，故五个点的坐标是(，0)，(，2)，(，0)，(，－2)，(，0)．
答案　(，0)，(，2)，(，0)，(，－2)，(，0)
5．已知函数f(x)＝3sin(＋)＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的简图．
解　(1)列表：
＋
0
π
2π
X
－
f(x)
3
6
3
0
3
(2)描点画图：
课堂小结
1．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意．
2．类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到．
基础过关
1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
解析　∵y＝sin＝sin 2，
∴需要将y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝sin的图象．
答案　D
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是(　　)
A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数 D．偶函数
解析　y＝sin图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，y＝－cos 2x是偶函数．
答案　D
3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
解析　对B选项，f(x)＝sin(6x＋φ)，
图象向左平移个单位得：y＝sin
＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)图象．
答案　B
4．定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．
解析　作出函数y＝sin 2x与y＝cos x的图象(如图所示)，由图可知，二者有7个交点．
答案　7
5．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________．
解析　将函数y＝sin x的图象向左平移φ个单位后，得y＝sin(x＋φ)的图象，而y＝sin(x－)＝sin(x＋)，所以φ＝．
答案　
6．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解　先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象(答案不唯一)．
7．已知函数f(x)＝3sin，x∈R．
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图．
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
解　(1)函数f(x)的周期T＝＝4π.
由x－＝0，，π，，2π，解得x＝，，，，．
列表如下：
x
x－
0
π
2π
3sin
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．图象如下：
(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位长度，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，得到f(x)的图象．
能力提升
8．给出几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
②横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变；
③向左平移个单位长度；
④向右平移个单位长度；
⑤向左平移个单位长度；
⑥向右平移个单位长度．
则由函数y＝sin x的图象得到y＝sin的图象，可以实施的方案是(　　)
A．①→③ B．②→③
C．②→④ D．②→⑤
解析　y＝sin x的图象y＝sin 2x的图象y＝sin的图象．
答案　D
9．将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)
A．t＝，s的最小值为 B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为 D．t＝，s的最小值为
解析　将x＝代入得，t＝sin＝，将函数y＝sin(2x－)图象上的点P向左平移s个单位，得到P′(－s，)，若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则sin(－2s)＝cos 2s＝，则2s＝±＋2kπ，k∈Z，解得s＝±＋kπ，k∈Z，由s>0得：当k＝0时，s的最小值为．
答案　A
10．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________．
解析　y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin的图象即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，
∴f(x)＝sin(x＋)，f()＝．
答案　
11．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________．
解析　平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，图象关于x＝对称，∴2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－π－(k∈Z)，又∵φ>0，
∴当k＝－1时，φ的最小值为．
答案　
12．作图并求值：利用五点作图法画出函数y＝2sin，x∈的图象，并写出图象在直线y＝1上方所对应的x的取值范围．
解　因为x∈，
所以0≤2x－≤2π，
列表如下：
2x－
0
π
2π
x
2sin
0
2
0
－2
0
描点作图如下：
由y＝2sin(2x－)>1得：
sin>，又2x－∈[0,2π]，所以<2x－<，解得：13．(选做题)已知函数f(x)＝sin (x∈R).
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
解　(1)由已知函数化为y＝－sin.欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π (k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为 (k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos 2．
∵y＝cos 2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．