2.1 平面向量的实际背景及基本概念学案

§2.1　平面向量的实际背景及基本概念
内容要求　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别(重点、难点).2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量(重点).3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念(易错点)．
知识点1向量的定义及表示
1．定义：既有大小，又有方向的量．
2．表示：
(1)有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
(2)向量的表示：
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量就是有向线段．(　　)
(2)如果|| >||，那么>.(　　)
(3)力、速度 和质量都是向量．(　　)
提示　(1)×，向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段．
(2)×，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
(3)×，质量不是向量．
知识点2　向量的有关概念
向量名称
定义
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位　的向量
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反　的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行　
相等向量
长度相等　且方向相同　的向量；向量a，b相等，记作a＝b
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b都是单位向量，则a＝b.(　　)
(2)若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．(　　)
(3)零向量的大小为0，没有方向．(　　)
提示　(1)×，a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同．
(2)√，若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同．
(3)×，任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．
题型一　向量的有关概念、零向量、单位向量
【例1】　判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
（1）向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一直线上；
（2）单位向量都相等；
（3）任一向量与它的相反向量不相等；
（4）四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝；
（5）一个向量方向不确定当且仅当模为0；
（6）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
解　（1）不正确，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一直线上;
(2)不正确．单位向量模均相等且为1，但方向并不确定；
（3）不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．（4）（5）正确；
(6)不正确．如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同．
规律方法　概念性问题的判断方法
对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关．零向量的模为零，方向则是任意的．
【训练1】　判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a≠b，则a一定不与b共线；
(2)若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
(3)在平行四边形ABCD中，一定有＝；
(4)若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
(5)若a＝b，b＝c，则a＝c；
（6）若a∥b，b∥c，则a∥c．
解　(1)两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故(1)不正确；（2）＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故（2）不正确．
（3）在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，（3）正确．（4）零向量的方向是任意的，与任一向量平行，（4）正确．（5）a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，（5）正确．若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故（6）不正确．
题型二　相等向量与共线向量
【例2】　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
解　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，．
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，．
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，．
规律方法　相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
【训练2】　如图，已知四边形ABCD为?ABCD，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等、方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
解　(1)与的模相等的向量有，，三个向量．
(2)与的模相等且方向相反的向量为，．
(3)与共线的向量有，，．
题型三　向量的表示及应用
【例3】　一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移．
解　⑴如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB＋BC＝70(n mile)．
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为||＝＝50(n mile)，由于sin∠BAC＝，故方向为北偏东53°．
规律方法　平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解．解答时，一般先把实际问题用图示表示出来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解．
【训练3】　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||．
解　(1)向量，，如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，
又||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝，∴||＝||＝200 km．
课堂达标
1．下列说法错误的是(　　)
A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．
答案　B
2．下列结论正确的个数是(　　)
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　①)错，温度只有大小，没有方向，是标量不是向量；②错，0的模等于0；③正确；④错，向量不能比较大小．
答案　B
3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)
A．＝ B．||＝||
C．> D．<
解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
答案　B
4．有下列说法：
①向量和向量长度相等；
②向量0＝0；
③向量大于向量；
④单位向量都相等．
其中，正确的说法是________(填序号)．
解析　
序号
正误
原因
①
√
||＝||＝|AB|
②
×
0是一个向量，而0是一个数量
③
×
向量不能比较大小
④
×
单位向量的模均为1，但方向不确定
答案　①
5．在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1．
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解　(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等方向相同(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆(作图略)．
课堂小结
1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
基础过关
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析　②③④⑤是向量．
答案　C
2．下列说法正确的个数为(　　)
①共线的两个单位向量相等；
②相等向量的起点相同；
③若∥，则一定有直线AB∥CD；
④若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　①错，共线的两个单位向量的方向可能方向相反；②错，相等向量的起点和终点都可能不相同；③错，直线AB与CD可能重合；④错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线，故选A．
答案　A
3．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
解析　∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即＝．
答案　D
4．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________．
解析　易知||＝|CA|＝×2＝．
答案　
5．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号)．
解析　相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
答案　①③④
6．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a．
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a．
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么？
解　(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示．
7．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有：
，，，，，，．
(2)与模相等的向量有：
，，，，．
(3)与相等的向量有：
与．
能力提升
8．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1，其中正确的是(　　)
A．①④ B．③
C．①②③ D．②③
解析　a为任一非零向量，故|a|＞0．
答案　B
9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
解析　由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，.因此选项A，B正确；而Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||.因此选项C正确；由于＝，因此与是共线的，故错误的选项是D．
答案　D
10．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________．
解析　∵∥且||≠||，
∴AB∥DC，但AB≠DC，
∴四边形ABCD是梯形．
答案　梯形
11．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________．
解析　易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在
Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2．
答案　2
12．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置向量．
解　(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．
13．(选做题)设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解　(1)＝，＝．
(2)与共线的向量有，，．
(3)与模相等的向量有：，，，，，，．
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．