2.2.1 向量加法运算及其几何意义学案

§2.2　平面向量的线性运算
2.2.1　向量加法运算及其几何意义
内容要求　1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算(重、难点).3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性(难点)．
知识点1向量的加法
1．定义：求两个向量和的运算．
2．运算法则：
图示
几何意义
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O，A，B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线上的向量＝a＋b
3．规定：对于零向量与任意向量a，规定a+0＝0+a＝a．
【预习评价】
思考　三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？
提示　三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
知识点2　向量加法的运算律
1．交换律：a＋b＝b＋a．
2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【预习评价】
已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析　由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a＋b＋c相等．
答案　D
题型一　向量的加法法则
【例1】　(1)如图①所示，求作向量和a＋b；
(2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c．
解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b．
如图所示，
(2)方法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
方法二(平行四边形法则)：如图所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
规律方法　向量求和的注意点
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．
(2)两个向量的和仍是一个向量．
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．
【训练1】　如图，O为正六边形ABCDEF的中心，指出与下列向量相等的向量：
(1)＋；(2)＋；(3)＋．
解　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝．
(2)因为＝，故＋与方向相同，长度为的长度的2倍，故＋＝．
(3)因为＝，故＋＝＋＝0．
题型二　向量的加法及运算律
【例2】　化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋．
解　(1)＋＝＋＝．
(2)＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝0．
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
规律方法　向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
【训练2】　已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________．
解析　|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2．
答案　2
典例
迁移
　题型三　向量加法的实际应用
【例3】　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解　作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．
【迁移1】　若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少km？
解　由例3解图可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，
则经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km)．
【迁移2】　若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角)．
解　如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min，
||＝|v水|＝10 m/min，则tan ∠BAC＝2，即为所求．
规律方法　应用向量解决平面几何问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
【训练3】　如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解　设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝．
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝
＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°．
课堂达标
1．已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是(　　)
A．＋＝ B．＋＝
C．＋＝ D．＋＝
解析　由加法的平行四边形法则可知＋＝，即(－)＋＝，所以＋＝．
答案　C
2．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　)
A．1 B．
C．3 D．2
解析　在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以|＋|＝||＝AC＝．
答案　B
3．化简＋＋等于(　　)
A． B．
C．0 D．
解析　＋＋＝＋＝．
答案　D
4．根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝．
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________．
解析　(1)a＋b＋c＝＋＋＝．
(2)b＋d＋c＝＋＋＝．
答案　(1)　(2)
5．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，求：
(1)|a＋b|；(2)指出向量a＋b的方向．
解　(1)如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝，所以|a＋b|＝||＝＝8．
(2)因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向．
课堂小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
基础过关
1．下列等式错误的是(　　)
A．a＋0＝0＋a＝a B．＋＋＝0
C．＋＝0 D．＋＝＋＋
解析　＋＋＝＋＝2≠0，故B错．
答案　B
2．如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD为(　　)
A．矩形 B．正方形
C．平行四边形 D．菱形
解析　∵＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，即＝．
∴四边形ABCD为平行四边形．
答案　C
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)
A． B．
C． D．
解析　＋＋＝＋(＋)＝＋0＝．
答案　C
4．设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有________.(将正确答案的序号填在横线上)
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|．
解析　由条件得：(＋)＋(＋)＝0＝a，故填①③．
答案　①③
5．在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝________，|＋|＝________．
解析　易知|＋|＝||＝1，所以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝．
答案　1　
6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4．
证明　∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋04．
∴＋＋＋＝4．
7．如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c．
解　(1)作法：在平面内取一O点，作＝a，＝b，则＝a＋b．
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c．
能力提升
8．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是(　　)
A．＋＋＝0 B．＋＋＝0
C．＋＋＝ D．＋＋＝
解析　由＋＋＝＋＋＝≠，故D错误．
答案　D
9．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)
A．0 B．
C． D．
解析　如图，∵在正六边形ABCDEF中，
＝，＝，
∴＋＋＝＋＋
＝＋＝＋＝．
答案　D
10．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______　．
解析　如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0．
答案　0
11．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h．
解析　如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10 km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h．
答案　20
12．如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝．
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°．
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5，
||＝||cos 60°＝10×＝5．
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N．
13．(选做题)如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
证明　＝＋，＝＋，因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，因为FD＝BE，且与的方向相同，所以＝，
所以＝，即AE与FC平行且相等，
所以四边形AECF是平行四边形．