2.2.2 向量减法运算及其几何意义学案

2.2.2　向量减法运算及其几何意义
内容要求　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则(难点).2.掌握向量减法的几何意义(重点).3.能熟练地进行向量的加、减运算(重点)．
知识点1　相反向量
定义
如果两个向量长度相等　，而方向相反　.那么称这两个向量是相反向量
性质
对于相反向量有：a＋(－a)＝0
若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0
③零向量的相反向量仍是零向量
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量．(　　)
(2)向量与是相反向量．(　　)
(3)－＝，－(－a)＝a.(　　)
提示　(1)×，相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．
(2)√，与大小相等、方向相反．
(3)√，根据相反向量的定义可知其正确．
知识点2　向量的减法
1．定义：a－b＝a＋(－b)　.减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量　．
2．几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点　的向量．
【预习评价】
在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a－b
C．b－a D．－a－b
解析　＝－＝b－a．
答案　C
题型一　向量的减法
【例1】　(1)如图，＋－等于(　　)
A． B．
C． D．
解析　＋－＝－＝．
答案　B
(2)如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d．
则a－b＝，c－d＝．
规律方法　求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
【训练1】　
如图所示，在正五边形ABCDE中，＝m，＝n，＝p，＝q，＝r，求作向量m－p＋n－q－r．
解　m－p＋n－q－r＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝－＝＋.
如图，连接AC，并延长至点Q，使CQ＝AC，则＝，所以＝＋，即为所求作的向量m－p＋n－q－r.
题型二　向量减法法则的运用
【例2】　(1)向量可以写成：①＋；②－；③－；④－．
其中正确的是________(填序号)．
解析　①＋＝；②－＝－－＝－(＋)≠；③－＝；④－＝，故填①④．
答案　①④
(2)化简：①＋－－；
②(＋＋)－(－－)．
解　①＋－－＝(－)＋(－)
＝＋＝．
②(＋＋)－(－－)＝＋－＋
＝＋＋＋＝＋＝0．
规律方法　1.向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
【训练2】　化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－)．
解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0．
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0．
题型三　向量减法的应用
【例3】　如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，，及．
解　∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c．
规律方法　用向量表示其他向量的方法
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则．
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它
的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则．
【训练3】　如图所示，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用c，d表示．
解　(1)＝＋＋＝d＋e＋a＝a＋d＋e．
(2)＝－＝－－＝－b－c．
(3)＝＋＋＝a＋b＋e．
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d．
课堂小结
1．作两个向量的差，要结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头不要搞错了，a－b的箭头要指向向量a，如果指向向量b；则表示b－a.
2．用两个向量表示几何图形中的其他向量，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
课堂达标
1．下列各式中，恒成立的是(　　)
A．＝ B．a－a＝0
C．－＝ D．－＋＝0
解析　选项D中，－＋＝＋＋＝＋＝0．
答案　D
2．如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)
A．a＋b和a－b B．a＋b和b－a
C．a－b和b－a D．b－a和b＋a
解析　由向量的加法、减法得，
＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a．
故选B．
答案　B
3．化简：(1)＋－＝________；(2)－－－＝________．
解析　(1)＋－＝＋＝0；
(2)－－－＝(－)－(＋)＝－0＝．
答案　(1)0　(2)
4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________．
解析　|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2．
答案　2
5．如图，已知a，b，求作a－b．
解　如图(1)，(2)，(3)所示，首先作＝a，然后作＝b，则＝a－b.
基础过关
1．化简＋－－＝(　　)
A． B．
C． D．0
解析　＋－－＝(＋)－(＋)＝－＝0．
答案　D
2．下列等式中，正确的个数为(　　)
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0．
A．3 B．4
C．5 D．6
解析　根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，所以正确的个数为5.故选C．
答案　C
3．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析　＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c．
答案　A
4．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为________．
解析　|－|＝||＝||＝1．
答案　1
5．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用，表示为________．
解析　＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－．
答案　2－
6．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．
解　方法一　先作a－b，再作a－b－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c．
方法二　先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②．
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c．
7．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－，＋＋．
解　＝－＝c－a，
＝－＝d－a，
－＝＝－＝d－b，
＋＝－＋－＝b－a＋f－c，
－＝＝－＝f－d，
＋＋＝0．
能力提升
8．平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析　因为＋＝＋，所以－＝－，即＝，所以AB綊CD，故四边形ABCD是平行四边形．
答案　B
9．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　)
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
解析　∵||＝|－|，且|||－|||≤|－|≤|A|＋||．
∴3≤|－|≤13．
∴3≤||≤13．
答案　C
10．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13．
∵＝a，＝b，
∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13．
答案　13
11．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
解析　设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°．
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA．
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°．
答案　30°
12．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
A
(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c．
解　(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使CE＝AC．
则a＋b＋c= c + c＝，且||＝2．
所以|a＋b＋c|＝2．
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，且||＝2．
所以|a－b＋c|＝2．
13．(选做题)如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若＝a，＝b，＝c，试证明：b＋c－a＝．
证明　方法一　因为b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝．
方法二　＝＋＝＋＋＝c＋＋＝b＋c－＝b＋c－a．
方法三　因为c－a＝－＝－＝＋＝＝＋＝－＝－b，所以b＋c－a＝．