2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义
内容要求　1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义(重点).2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算(重点).3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题(难点)．
知识点1　向量的数乘运算
1．定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
2．运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb．
【预习评价】
4(2a－3b)－2(3a＋2b)＝________．
解析　原式＝8a－12b－6a－4b＝2a－16b．
答案　2a－16b
知识点2　共线向量定理
1．向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa　．
2．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b　．
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(　　)
(2)若b＝λa，则a与b共线．(　　)
(3)若λa＝0，则a＝0.(　　)
提示　(1)×，当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一．
(2)√，由共线向量定理可知其正确．
(3)×，若λa＝0，则a＝0或λ＝0．
题型一　向量的线性运算
【例1】　(1)3(6a＋b)－9＝________；
解析　3(6a＋b)－9＝18a＋3b－9a－3b＝9a．
答案　9a
(2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________．
解析　将原等式变形为
2y－a－c－b＋y＋b＝0，
即y－a－c＋b＝0，y＝a－b＋c，
∴y＝(a－b＋c)＝a－b＋c．
答案　a－b＋c
规律方法　向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
【训练1】　若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)
A．－a B．－4b
C．c D．a－b
解析　3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a．
答案　A
题型二　向量共线的判定及应用
【例2】　设a，b是不共线的两个非零向量.
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)若＝ma，＝nb，＝αa＋βb，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M，P，N三点共线，求证：＋＝1．
(1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
(2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.∵a与b不共线，
∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4．
(3)证明　∵M，P，N三点共线，O为直线外一点，
∴存在实数x，y，使得＝x＋y，且x＋y＝1．
又∵＝α a＋β b，且a，b不共线，
∴＝xma＋ynb＝α a＋β b，∴xm＝α，yn＝β，
∴＋＝x＋y＝1．
规律方法　1.证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点?存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1．
2．利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．
【训练2】　设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．
解析　由共线向量定理可知存在实数k，λa＋b＝k(a＋2b)，即λa＋b＝ka＋2kb，∴λ＝k且2k＝1，解得λ＝k＝．
答案　
典例
迁移
　题型三　向量数乘运算的综合应用
【例3】　如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，．
解　因为＝＝＝(－)＝(a－b)，
所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b．
因为＝＝，所以＝＋＝＋＝＝(＋)＝(a＋b)．
＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b．
【迁移1】　在例3中，试用a，b表示．
解　＝－2＝－2×(a－b)＝－a＋b．
【迁移2】　在例3中，若＝a，＝b，其他条件不变，试用a，b表示．
解　＝－＝a－(＋)＝a－(a＋b)＝a－b．
规律方法　用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
【训练3】　如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，（用 a，b表示）．
解　∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a，
又D，E为边AB的两个三等分点，
所以＝＝b－a，
所以＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，
＝＋＝3a＋
＝3a＋(2b－3a)＝a＋b．
课堂达标
1．下列各式计算正确的有(　　)
①( －7)6a＝－42a；
②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；
④4(2a＋b)＝8a＋4b．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析　①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b．
答案　C
2．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　)
A．(a－b) B．－(a－b)
C．(a＋b) D．－(a＋b)
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(a＋b)．
答案　C
3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝
解析　由共线向量定理可知存在实数λ，m＝λn，
即－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝λe2－2λe1，
∴解得
答案　D
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2．
答案　2
5．如图所示，已知＝，用，表示．
解　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋．
课堂小结
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量表示与向量a同向的单位向量．
3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
基础过关
1．将[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简形式为(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
解析　原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(24b－12a)＝2b－a．
答案　B
2．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)
A． B．
C． D．
解析　∵A，B，D三点共线，
∴＋λ＝1，λ＝．
答案　B
3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)
A． B．
C． D．
解析　
如图，＋
＝＋＋＋
＝＋＝(＋)
＝·2＝．
答案　C
4．如果实数p和非零向量a与b满足pa＋(p＋1)b＝0，则向量a和b________(填“共线”或“不共线”)．
解析　由题知实数p≠0，则pa＋(p＋1)b＝0可化为a＝－b，由向量共线定理可知a，b共线．
答案　共线
5．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________．
解析　∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3，∴m＝3．
答案　3
6．计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)－；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b．
(2)原式＝－
＝－
＝a＋b－a－b＝0．
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b．
7．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．
解　方法一　如图所示，在?ABCD中，连接AC交BD于O点，
则O平分AC和BD．
∵＝3，∴＝，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，∴MN綊BO，
∴＝＝＝(b－a)．
方法二　＝＋＋＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a)．
能力提升
8．已知△ABC三个顶点A，B，C及平面内一点P，若＋＋＝，则(　　)
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在的直线上 D．P在线段AC上
解析　＋＋＝－，∴＝－2，
∴P在AC边上．
答案　D
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析　∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，
∴DF＝AB，∴＝＋＝＋．
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b．
答案　D
10．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
解析　由题意可知存在实数λ，使ka＋2b＝λ(8a＋kb)，
即ka＋2b＝8λa＋kλb，
所以解得或
当k＝4时，ka＋2b与8a＋kb方向相同，不合题意，故k＝－4．
答案　－4
11．如图所示，设M，N为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABM的面积与△ABN的面积之比为________．
解析　如图所示，设＝，＝，
则＝＋．
由平行四边形法则知，MQ∥AB，
∴＝＝．
同理＝.∴＝．
答案　2∶3
12．
如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．
求证：M，N，C三点共线.
证明　设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b．
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，又∵与的公共点为C，
∴C，M，N三点共线．
13．(选做题)设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
解　b与a＋c共线．证明如下：
∵a＋b与c共线，
∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，
∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa．
∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c．
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0．
∴a＋c＝－b．
故a＋c与b共线．