2.3.1 平面向量基本定理学案

§2.3　平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1　平面向量基本定理
内容要求　1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义(难点).2.在平面内，当选定一组基底后，会用这组基底来表示其他向量(重点).3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题(难点)．
知识点1平面向量基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．(　　)
(2)零向量可以作为基底．(　　)
(3)若a，b不共线，则a＋b与a－b可以作为基底．(　　)
提示　(1)×，基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底．
(2)×，由于0和任意的向量共线，故不能作为基底．
(3)√，由于a＋b和a－b不共线，故可作基底．
知识点2　两向量的夹角
1．定义：作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)　叫做向量a与b的夹角．
2．特例：(1)θ＝0°，向量a，b同向　；
(2)θ＝90°，向量a，b垂直　；
(3)θ＝180°，向量a，b反向　．
【预习评价】
在等边△ABC中，向量与的夹角是________．
解析　由向量夹角的定义可知与的夹角是∠B的补角，是120°．
答案　120°
题型一　对平面向量基本定理的理解
【例1】　(1)设O点是平行四边形ABCD两条对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在的平面的基底的是(　　)
①与；②与；③与；④与．
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析　如图所示，①③中的向量不共线可以作为基底，②④中的向量共线，不能作基底．
答案　B
(2)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________(填序号)．
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0．
解析　由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
答案　②③
规律方法　对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
【训练1】　设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______　(写出所有满足条件的序号)．
解析　对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．
答案　①②④
典例
迁移
　题型二　用基底表示向量
【例2】　(1)已知＝a，＝b，C为线段AO上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示＝________；
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×＝a＋b．
答案　a＋b
(2)如图，?ABCD的对角线AC和BD交于点M，＝a，＝b，试用基底a，b表示，，．
解　＝＋＝a＋b，＝－＝b－a，因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝＝a＋b．
＝－＝－a－b，＝＝b－a，所以＝－＝a－b．
【迁移1】　
在例2(2)题中的条件不变，添加“＝”，试用a，b表示．
解　＝－＝a－(a＋b)＝－a－b．
【迁移2】　在例2(2)题中，若E，F分别是边CD与BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．
解　＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b，
则λ＋μ＝(λ＋μ)a＋(λ＋μ)b＝a＋b，
所以两式相加得(λ＋μ)＝2，故λ＋μ＝．
规律方法　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．
(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．
【训练2】　设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　如图所示，＋＝(－)＋(＋)
＝＋＝＋＝(＋)＝.
答案　A
题型三　向量的夹角
【例3】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β．
解　如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，
以OA，OB为邻边作?OACB，
则＝a＋b，＝－＝a－b，
＝＝a．
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，
所以∠OAB＝60°＝∠ABC，
即a－b与a的夹角β＝60°．
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，
所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，
即a＋b与a的夹角α＝30°，
所以α＋β＝90°．
规律方法　求两向量夹角的方法
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ′，当λ1λ2<0时，θ′＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ′＝θ．
【训练3】　已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
解析　由题意可画出图形，如图所示．
在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°．
答案　90°
课堂达标
1．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析　向量－a与－b的夹角与a和b的夹角相等，为60°．
答案　A
2．下列关于基底的说法正确的是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．②
C．①③ D．②③
解析　零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．
答案　C
3．在△ABC中，若＝(＋)，则下列关系式正确的是(　　)
A．BD＝2CD B．BD＝CD
C．BD＝3CD D．CD＝2BD
解析　由＝(＋)得2＝＋，即－＝－，即＝，即||＝||，所以BD＝CD．
答案　B
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________．
解析　∵向量e1，e2不共线，
∴解得
答案　－15　－12
5．在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以＝e1，＝e2为基底表示．
解　＝－＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以＝＝(e1－e2)，所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2．
课堂小结
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
基础过关
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
解析　选项A中，e1－e2＝－(e2－e1)，即e1－e2与e2－e1共线，不能作为基底；选项B中，2e1－e2＝2(e1－e2)，即2e1－e2与e1－e2共线，不能作为基底；选项C中，2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，即2e2－3e1与6e1－4e2共线，不能作为基底；选项D中的两个向量不共线，可作为基底．
答案　D
2．如图所示，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
解析　＝＝(－)＝(5e1＋3e2)．
答案　A
3．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
解析　由＝3得－＝3(－)，即3＝－＋4，所以＝－＋．
答案　A
4．若向量a与b的夹角为45°，则2a与－3b的夹角是________．
解析　如图所示，可知2a与－3b的夹角是135°．
答案　135°
5．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
解析　若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，
由a≠kb即得λ≠4．
答案　(－∞，4)∪(4，＋∞)
6．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，设＝a，＝b，用a，b表示向量，．
解　＝＋＝＋＝＋－＝2a－b.＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b．
7．已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线．
(1)在△OAB中，若点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
解　(1)∵＝2，∴＝，
∴＝(－)＝－，
又∵＝r＋s，
∴r＝，∴s＝－，∴r＋s的值为0．
(2)∵四边形OABP为平行四边形，
∴＝＋，
又∵＝m＋，
∴＝＋(m＋1)，
依题意，是非零向量且不共线，
∴m＋1＝0，解得m＝－1．
能力提升
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b B．a－b
C．a＋b D．a＋b
解析　连接CD，OD，图略，
∵点C，D是半圆弧的两个三等分点，
∴＝，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OD，∠ADO＝∠DAO＝30°，
∴∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO，∴四边形ACDO为平行四边形，＝＋．
∵＝＝a，＝b，
∴＝a＋b.故选D．
答案　D
9．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋
，则实数m的值为(　　)
A． B．
C．1 D．3
解析　如图，
因为＝，
所以＝，＝m＋＝m＋，
因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，故选B．
答案　B
10．若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r>0)，则a与b的夹角为________．
解析　作＝a，＝b，则＝a－b，∠AOB为a与b的夹角，由|a|＝|b|＝|a－b|知△AOB为等边三角形，则∠AOB＝60°．
答案　60°
11．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析　如图，＝－＝－＝(－)＋＝－＋，又＝λ1＋λ2，且与不共线，所以λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝．
答案　
12．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解　(1)若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得，
?
所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．
所以?
所以c＝2a＋b．
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2．
所以?
故所求λ，μ的值分别为3和1．
13．(选做题)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解　如图，以OC为对角线作?OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，
则存在λ，μ，使＝λ，＝μ，
即＝＋＝λ＋μ．
在Rt△COM中，||＝2，∠COM＝30°，∠OCM＝90°，
∴||＝4，∴＝4．
又||＝||＝2，∴＝2，
∴＝4＋2，即λ＝4，μ＝2．
∴λ＋μ＝6．