2.3.2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算学案

2.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3　平面向量的坐标运算
内容要求　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．
知识点1平面向量的坐标表示
1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．
2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．
3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．
4．坐标表示：a＝(x，y)．
5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
【预习评价】
思考　根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．
答案　a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)
知识点2　平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和　
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)　
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差　
a－b＝(x1－x2，y1－y2)　
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
λa＝(λx，λy)　
重要
结论
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点　的坐标减去起点　的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
【预习评价】
已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝________．
解析　2a－b＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)．
答案　(5,7)
题型一　平面向量的坐标表示
【例1】　如图，在直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
解　(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3．
∴C，∴＝＝，
即b＝．
(2)＝－＝．
(3)＝＋＝(2，2)＋(－，)
＝．
∴点B的坐标为(2－，2＋)．
规律方法　求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
【训练1】　已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
解析　＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，
设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
所以即
答案　A
题型二　平面向量的坐标运算
【例2】　(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
解析　设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，
－2)，则＝(－7，－4)，故选A．
答案　A
(2)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋2，－的坐标．
解　因为＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
所以＋2＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，
－＝(－8,4)－(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．
规律方法　平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
【训练2】　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求下列向量的坐标：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b．
解　(1)2a＋3b＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－，1)－(，)＝(－，).
考查
方向
　题型三　平面向量坐标运算的应用
方向1　由相等的向量求参数的值
【例3-1】　已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析　ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
即解得
所以m－n＝－3．
答案　－3
方向2　向量运算与平面几何的综合应用
【例3-2】　已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．
解　设D点的坐标为（x,y）当平行四边形为ABCD时，由＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，且＝，得D(2,2)．
当平行四边形为ACDB时，由＝(1,2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4,6)．
当平行四边形为ACBD时，由＝(5,3)，＝(－1－x,3－y)，且＝，得D(－6,0)，
故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．
规律方法　坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
【训练3】　已知A(2,4)，B(－4,6)，若＝，＝，则的坐标为________．
解析　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则(x1－2，y1－4)＝(－6,2)＝(－9,3)，则x1＝－7，y1＝7，
(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝(8，－)，
∴x2＝4，y2＝，则＝(11，－)．
答案　(11，－)
课堂达标
1．已知点A(－2,1)，B(3，－2)，则的坐标是(　　)
A．(－5,3) B．(5，－3)
C．(－5，－3) D．(5,3)
解析　＝(－2,1)－(3，－2)＝(－5,3)．
答案　A
2．若＝(3,5)，＝(－1,2)，则等于(　　)
A．(4,3) B．(－4，－3)
C．(－4,3) D．(4，－3)
解析　＝－＝(3,5)－(－1,2)＝(4,3)．
答案　A
3．已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，则a－2b等于(　　)
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－1,2) D．(1，－2)
解析　a－2b＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．
答案　A
4．已知点A(2,1)，B(－2,3)，且＝，则点C的坐标为________.
解析　设C(x，y)，则(x－2，y－1)＝(－4,2)＝(－2,1)，
∴x＝0，y＝2．
答案　(0,2)
5．已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，其中O为原点，求x，y的值．
解　由题意知解得
课堂小结
1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．
2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．
3．向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．
基础过关
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
答案　C
2．已知＝(5，－3)，C(－1,3)，＝2，则点D坐标是(　　)
A．(11,9) B．(4,0)
C．(9,3) D．(9，－3)
解析　设D(x，y)，则(x＋1，y－3)＝(10，－6)，∴x＝9，y＝－3，即点D的坐标是(9，－3)．
答案　D
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
解析　由解得
答案　D
4．在平行四边形ABCD中，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________(用坐标表示)．
解析　＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
答案　(－1，－1)
5．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．
解析　∵＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与同方向的单位向量为＝．
答案　
6．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，求的值．
解　以向量a和b的交点为原点建立平面直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝
(－1，－3)，根据c＝λa＋μb?(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故＝4．
7．已知点A(3，－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
解　设P点坐标为(x，y)，||＝2||．
当P在线段AB上时，＝2．
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(，0)．
当P在线段AB延长线上时，＝－2．
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴解得
综上所述，点P的坐标为(，0)或(－5,8)．
能力提升
8．向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3,6)平移后得向量，则的坐标形式为(　　)
A．(10,1) B．(4，－11)
C．(7，－5) D．(3,6)
解析　与方向相同且长度相等，
故＝＝(7，－5)．
答案　C
9．已知a＝(，1)，若将向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为(　　)
A．(0,4) B．(2，－2)
C．(－2，2) D．(2，－2)
解析　∵a＝(，1)，∴－2a＝(－2，－2)，
易知向量－2a与x轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．
向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，在第四象限，与x轴正半轴的夹角β＝30°，∴b＝(2，－2)，故选B．
答案　B
10．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝________(用a，b表示)．
解析　设c＝xa＋yb，即(－1,2)＝(x，x)＋(y，－y)＝(x＋y，x－y)，即解得所以c＝a－b．
答案　a－b
11．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________．
解析　∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，
＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴解得　
∴x＋y＝．
答案　
12．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解　设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
∴＝(－2，－4)．
13．(选做题)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t．
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由．
解　(1)＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)
＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
∴t＝－．
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
∴t＝－．
若点P在第二象限，则
∴－(2)＝(1,2)，＝－＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，
则＝，
∴该方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．